Лекція №3 Теорія подібності. Моделювання процесів та апаратів

1. Методи вивчення процесів

2. Поняття про подібність фізичних явищ

3. Поняття про узагальнані величини

4. Теореми подібності

5. Методи моделювання. Основні правила моделювання

1. Розв’язок будь-якої інженерної задачі основується на точному розрахунку, який доводить можливість і доцільність створення нового процессу, апарату чи змін, які в них вносяться.

Зміни в процесах і апаратах можуть призвести до нових якісних і кількісних результатів проведення процесу, які пов’язані з необхідністю нові геометричні та фізичні величини, які раніше не грали істотної ролі, а також інший характер взаємозв’язку між цими величинами та величинами, які використовувались раніше.

Тому необхідно проводити вивчення процесу. Є два методи вивчення процесу і отримання кількісних взаємозв’язків між істотними для нього фізичними і геометричними величинами: прямого експерименту і аналітичний.

Перевага першого методу полягає в отриманні достовірних результатів, а недоліками є громіздкість і трудомісткість, через які виникають нові задачі і проблеми, що потребують вирішення, а також те, що в методі відображаються лише індивідуальні особливості явища, яке вивчається і вони не можуть бути використані для дослідження явищ, що відрізняються від вивчених.

Аналітичний метод опису процесу основується на виведенні диференціальних рівнянь математичної фізики і дає змогу отримати найбільш загальні зв’язки величинами, які вивчаються, відображаючи таким чином цілий клас явищ, які характеризуються загальним механізмом процесу. Для виділення конкретного явища необхідно з багатьох можливих розв’язків диференціального рівняння отримати єдиний. Але це в свою чергу вимагає задання додаткових умов і рівнянь, так званих умов однозначності (геометричних, фізичних, початкових і граничних).

Отже необхідно скласти і розв’язати цілу систему диференціальних рівнянь.

Таким чином, жоден з методів окремо не дозволяє розв’язати практичні задачі з удосконалення процесів і проектування нових апаратів. Об’єднання переваги обох методів склало основу теорії подібності – науки про методи постановки і проведення експериментів на промислових установках та їх моделях, способи обробки експериментальних даних і зображення їх у вигдяді розрахункових формул.

2. Подібність фізичних явищ має багато спільного з геометричною подібністю. В геометрії подібними називаються фігури однакової форми, у яких подібні кути рівні, а подібні сторони пропорційні (рис.3.1).

Рис.3.1. Геометрично подібні трикутники

У подібних фігур відношення подібних сторін і висот запишемо у вигляді:

, (3.1)

де с_l1 – константа подібності або коефіцієнт подібного перетворення.

З допомогою константи подібності можна порівнювати між собою лише дві подібні фігури:

; с_l1 с_l2 (3.2)

Якщо ж за масштаб виміру взяти один з лінійних розмірів трикутника (подібну сторону або висоту), то для всіх подібних трикутників:

і₁; і₂, (3.3)

і – безрозмірна величина, яка називається інваріантом подібності, з допомогою якого можна порівняти будь-яку кількість подібних між собою фігур.

Поняття подібності поширюється на фізичні явища. Передумовою подібності полів фізичних явищ повинна бути геометрична подібність, тобто фізичні поля подібні, якщо в подібних точках геометрично подібних систем відношення фізичних величин виражене сталими значеннями відповідних констант подібності:

; ; ; .

Прикладом кінематичної подібності може бути подібність руху рідини. Вона також вимагає наявності геометричної подібності, тобто якщо необхідно вивчити розподіл швидкостей потоку рідини в круглій трубі, то подібний потік повинен бути здійснений також в трубі круглого січення. При цьому порівнюються між собою швидкості в точках, які відповідають геометричній подібності. При цьому повинно бути забезпечпна подібність фізичних полів: , ,…

Тоді можна отримати .

Для того, щоб сформулювати, що саме розуміють під подібністю фізичних явищ необхідно розглянути наступні терміни:

однойменні величини – величини, що мають один і той самий зміст і однакову розмірність;

подібні точки системи – точки, які відповідають геометричній подібності;

подібні моменти часу – моменти, які наступають після закінчення періодів часу, які мали загальний початок відліку і зв’язані з константою часової подібності .

Таким чином, подібними називаються фізичні явища, які проходять в геометрично подібних системах, якщо у них у всіх подібних точках в подібні моменти часу відношення однойменних величин виражені відповідними константами подібності.

3. В результаті інженерного розрахунку повинні бути отримані визначені числові величини, значення яких будуть залежати від вибраної системи одиниць. Але в залежності від того, які параметри будуть вибрані для вимірювання, знайдені в розрахунках величини можуть бути як розмірними, так і безрозмірними.

При використанні розмірних величин оперують деякими еталонами (метр, кілограм)незалежно від природи явища, яке вивчається експериментально (механічне, теплове, електромагнітне).

При оперуванні безрозмірними параметрами в якості масштабу вимірювання використовується величина, яка органічно пов’язана з природою даного явища.

Наприклад, рух предмета в газовому середовищі можна чисельно характеризувати швидкістю, яка виражається в м/с, але без додаткових відомостей про фізичні властивості цього середовища (тиску, густині) нічого не можна сказати про природу цього руху. В той самий час, якщо рух предмета охарактеризувати безрозмірним числом М, яке є відношенням швидкості предмета до швидкості звуку в цьому середовищі ₀: М= / ₀, то природа явищ, які будуть відбуватися, буде достатньо відомою.Так , наприклад, у випадку, коли М>1, то виникне аеродинамічне нагрівання, стрибок ущільнення, зміниться центр тяжіння предмета.

Суть методу подібності полягає в тому, що фізичні і геометричні величини, які визначають швидкість і напрямок процесів, що протікають в природі і техніці, в найбільшій мірі проявляють себе не кожна окремо, а у вигляді комплекса чи комплексів величин, що характерні для кожної групи процесів.

Прикладом може бути число Рейнольдса (Re= ), яке об’єднує чотири величини і дає вичерпну інформацію про режим руху середовища що визначає в свою чергу характер протікання тепло- і масообмінних процесів.

В якості другого прикладу можна порівняти рівняння отримані для розрахунку коефіцієнта опору в формулі Дарсі-Вейсбоха (3.4) на основі дослідження залежності між початковими величинами і отриманими на основі теорії подібності (3.5).

В першому випадку для опису витікання води в трубах діаметром 1-3 см була отримана формула: (3.4),

яка придатна лише для води лише для температури 20⁰С і лише для d=1-3см. На основі методу подібності формула Блузіуса (3.5) може бути використана для будь-якої рідини при будь-якій температурі і при будь-якому діаметрі труби. Межі використання формули 4000<Re<100 000.

4. Теореми подібності. Основу методики застосування теорії подібності для глибокого аналізу просів і отримання експериментально обґрунтованих розрахункових формул складають системи теорем подібності які дозволяють отримати відповіді на найважливіші питання практики застосування цієї теорії:

• які величини необхідно вимірювати в експерименті?

• як обробляти результати вимірювань?

• які явища подібні тому, що вивчається або як побудувати модель, яка подібна до об’єкта, що вивчається?

На перше питання відповідає перша теорема подібності, сформульована І.Ньютоном: подібні між собою явища мають чисельно рівні критерії подібності.

Безрозмірні параметри – критерії подібності бувають двох видів: критерії-комплекси, які складаються з різних фізичних і геометричних величин та критерії-симплекси, які складаються з однойменних величин. Прикладом критерія-комплекса може бути число Рейнольдса Re= , критерія-симплекса число М= .

Кожний критерій має певний фізичний зміст і виражає міру співвдношення між ефектами, важливими для цього процесу.

Якщо критерій Рейнольдса записати у вигляді:

Re= , (3.6)

то очевидно, що він виражає спввідношення між силами інерції і силами молекулярного тертя в потоці рідини. З іншого боку, якщо для двох подібних потоків рідини критерії чисельно рівні, то

, звідки

Поскільки ; ; ; ,

тоді (3.7).

Складений таким чином параметр із констант подібності є індикатором подібності.

Перша теорема подібності за М.В. Кирпичовим формулюється так: “У подібних явищ індикатор подібності дорівнює одиниці”.

Метод подібності передбачає використання експериментів для встановлення взаємозв’язку між безрозмірними параметрами. В зв’язку з цим у відповідних дослідах необхідно вимірювати початкові величини, які входять в критерії, що описують процес, який вивчається. В цьому й полягає суть першої теореми подібності.

Таблиця 3.1