5.2 Условие равновесия системы сил
Представим, что некоторое тело под действием внешних сил и связей находится в равновесии. Воспользуемся принципом освобождаемости тел от связей и заменим их действие реакциями связей. Тогда можно сказать, что дана некоторая система сил, которая находится в равновесии.
Как уже было сказано, любую систему сил можно привести к главному вектору и главному моменту. Но если система сил находится в равновесии, то и данные величины будут равны нулю (иначе тело не находится в покое):
(5.2)
Выражение (5.2) является основным условием равновесия системы сил. Однако использовать данные уравнения не всегда удобно, поэтому составляют уравнения равновесия, в основе которых лежат данные условия.
Для плоской системы сил получены и используются три формы условия равновесия:
1. Основная форма условий равновесия. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.
(5.3)
2. Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:
(5.4)
3. Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов): для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
(5.5)
Для пространственной системы сил условие равновесия будет состоять из шести уравнений:
(5.6)
Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы моментов сил относительно координационных осей, были равны нулю.
Следует учитывать, что количество возможных уравнений равновесий равно количеству движений, которое может совершать свободное тело. Поэтому необходимо отличать задачи, которые можно решать методами статики, а которые нельзя.
5.3 Пример решения задач
Задача 5.3.1
Дана система сил F1,F2,F3. Определить главный вектор системы и главный момент системы относительно центра О, если известны модули сил F1=20Н, F2=30Н и F3=40Н, углы α1=30°, α2=45° и α3=60°, координаты точек xA=0,1м, yA=0,3м, xB=-0,3м, yB=-0,1м, xС=0,4м, yС=0,5м.
Рисунок 5.2
Решение.
Определяем проекции главного вектора системы:
Модуль главного вектора:
Определяем главный момент системы относительно центра О:
Ответ:
,
Задача 5.3.2
На рычаг с неподвижной осью О действуют силы F1=4Н и F2 (рис. 5.3а). Определить модуль силы F2, необходимой для того, чтобы удержать рычаг в равновесии, если углы α=45°, β=120°, длины АО=0,5 м, ВО=0,6 м.
Рисунок 5.3
Решение.
В случае равновесия рычага сумма моментов всех сил системы относительно любого центра будет равна «0». Уравнение равновесия целесообразно составлять относительно точки О, так как кроме сил F1 и F2 на рычаг будут действовать реакции XO и YO шарнирной опоры О (рис. 5.3б). Моменты от реакций относительно О будут равны нулю, т.к. они исходят из этой точки.
Для удобства определения моментов, разложим силы на составляющие: вдоль стержней и перпендикулярно стержням. Линии действия проекций, направленных вдоль стержней, будут пересекать точку О. Соответственно, момент этих проекций будет равен нулю. Для вторых проекций момент будет определяться произведением модулей проекций на длины стержней, которые являются плечами.
Составляем уравнение равновесие и определяем модуль силы F2:
;
.
Ответ: F2=2,72Н
Задача 5.3.3
К вершинам куба, со стороной равной а, приложены шесть сил F1=F2=F3=F4=F5=F6=F (рис. 5.4). Определить модули главного вектора и главного момента системы.
Рисунок 5.4
Решение.
Определяем проекции главного вектора на оси, учитывая, что диагональ, проведенная на грани куба, образует с ребром угол 45°.
,
,
.
Модуль главного вектора:
.
Определяем проекции главного момента на оси:
,
(силы
F1,
F2,
F4,
F5
либо пересекают ось 0x,
либо параллельны ей). Аналогично:
,
,
,
.
Определяем модуль главного момента системы:
Ответ: R*=2,45F, МО=2,65Fa