4.5 Примеры решения задач
Задача 4.5.1
Сила F=200Н, приложенная к точке А (рис. 4.8), лежит в плоскости Oxy. Определить моменты силы относительно точки О, В, С и D, если координаты xA=0,3м, yA=0,2м, xВ=0,6м, xС=0,6м, yС=0,4м, yD=0,4м и α= 30°.
Рисунок 4.8
Решение.
Определяем модули проекций силы F на оси Оx и Оy:
Н,
Н,
Используя теорему Вариньона, определяем момент силы относительно центра О. Учитываем, что если сила (проекция силы) стремиться повернуть тело против часовой стрелки, то момент берется со знаком плюс, если по часовой – минус.
.
Аналогичным способом определяем для остальных точек
Ответ:
,
,
,
Задача 4.5.2
Даны пары сил, у которых F=6Н, h=3м, Q=2Н, d=7м (рис. 4.9). Определить модуль сил эквивалентной пары сил, если ее плечо будет равно 10м.
Рисунок 4.9
Решение.
Находим значения моментов для каждой из пары сил, с учетом правила знаков.
,
.
Момент эквивалентной пары будет равен сумму моментов системы пар сил F и Q:
,
Так
как момент результирующей пары сил
при заданном плече l
равен
,
то модуль силы результирующей пары:
.
Задача 4.5.3
Определить момент силы F относительно осей Ох, Оy, Оz (рис.4.10а). Если F=150Н, a=1,2м, b=1,5м, c=0,9м и угол α= 40°. Сила F находится в плоскости верхней грани параллелепипеда.
Рисунок 4.10
Решение.
Определим модули проекции силы F. Так как сила находится в верхней гране, то она будет проецироваться на оси Ох и Оy (рис.4.10б):
,
,
.
Для определения момента силы относительно оси необходимо вначале силу спроецировать на плоскость перпендикулярную оси. При определении момента относительно оси Ox проецируем силу на плоскость yOz (рис.4.11а).
Рисунок 4.11
Смотрим со стороны стрелки и определяем момент силы относительно точки пересечения оси с плоскостью – точки О.
.
Подобным образом находим момент относительно оси Оy (рис.4.11б) и относительно оси Оz (рис.4.11в):
,
.
Ответ:
,
,
.
Задача 4.5.4
Положение
точки А в пространстве определяется
радиусом-вектором
(м). К точке А приложена сила
(Н). Определить модуль момента этой силы
относительно точки О.
Рисунок 4.12
Решение.
Проекции вектора на оси координат X=3, Y=4, Z=0. Проекции радиус-вектора на оси x=0, y=6, z=8. Определим моменты силы относительно осей по формулам (4.4):
,
,
.
Определяем модуль момента силы относительно центра О:
Ответ: МО=43,86Нм
5 Условия равновесия. Статически определимые и неопределимые задачи
5.1 Параллельный перенос силы. Главный вектор. Главный момент
Рассмотрим следующий случай.
Рисунок 5.1
Пусть на твердое тело действует некоторая сила F, приложенная в точке А (рис. 5.1а). По условию задачи необходимо перенести данную силу в точку В, не находящуюся на линии действия силы, не изменяя воздействия на тело силы. Если будет просто произведен перенос силы из точки А в точку В, то произойдет изменение вращательного эффекта силы (нужно сравнить моменты силы в первом и втором случаях относительно любого центра). Поэтому данный способ неприемлем.
Теперь добавим в точку В две взаимноуравновешенные силы F’ и F” (рис. 5.1б), которые по модулю равны и параллельны силе F. Так как силы уравновешивают друг друга, то и воздействие на тело от сил не изменится. В тоже время можно сказать, что система из сил F и F” представляет собой пару сил с моментом равным моменту силы F относительно точки В (рис. 5.1в).
Сформулируем правило параллельного переноса силы: силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.
Применяя данную теорему можно любую произвольную систему сил привести к одной силе R*, называемой главным вектором и приложенной в центре приведения, и к паре сил M, называемой главным моментом всех сил относительно центра приведения. Главный вектор определяется сложением сил, а главный момент сложением моментов сил относительно точки приведения.
(5.1)