5.7 Примеры решения задачи с4

Пример С4а

Задание. На угольник ABC (угол ABC=90°), конец A которого жестко заделан, в точке C опирается стержень DE (рис. 5.10). Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила F₁ и пара с моментом M, а к угольнику – равномерно распределенная на участке KB нагрузка интенсивностью q и сила F₂.

Дано: F₁=10кН, F₂=20кН, M=5кНм, q=20кН/м, a=0,2м.

Определить: реакции в точках A, C, D, вызванные заданными нагрузками.

Рисунок 5.10

Решение.

Рассматриваемая конструкция состоит из двух тел – угольника и стержня. Соответственно для решения задачи можно составить шесть уравнений равновесия, по три каждого тела. В точке A находится заделка. Данная связь имеет три составляющие реакции. В точке D – неподвижный шарнир, т.е. две составляющие реакции. Связь стержня DE в точке C является вариантом гладкой поверхности. Соответственно имеем еще одну неизвестную. Реакция направлена перпендикулярно поверхности DE. Количество неизвестных равно количеству уравнений равновесия, поэтому задача является статически определимой.

В данной задаче для определения реакций наиболее удобно разделить конструкцию на части. Полученный результат с реакциями в опорах показан на рисунке 5.11. Реакция N характеризует воздействие угольника на стержень. Реакция N’, наоборот, воздействие стержня на угольник. Силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны. При рассмотрении конструкции целиком, данные силы будут являться внутренними и компенсировать друг друга.

Распределенная нагрузка заменена на эквивалентную сосредоточенную силу Q, приложенную по центру распределения. Модуль силы Q будет равен:

.

Рисунок 5.11

На угольник действуют четыре неизвестные реакции, на стержень три. Поэтому вначале рассматриваем равновесие стержня. Составляем уравнения равновесия:

, , (1)

, , (2)

, , (3)

Из уравнения (3):

Из уравнения (2):

Из уравнения (1):

После определения N, в угольнике остаются неизвестными так же три реакции. Составляем теперь уравнения равновесия для данного тела:

, , (4)

, , (5)

,

(6)

Из уравнения (4):

Из уравнения (5):

Из уравнения (6):

Ответ: X_D=-2,284кН, Y_D=-4,455кН, N=8,91кН, X_А=-1,716кН, Y_A=21,78кН, m_A=-7,28кНм.

Пример С4б

Задание. Конструкция состоит из двух ломаных стержней и представляет собой трехшарнирную арку (рис. 5.12). В точках А и В находятся шарнирные неподвижные опоры, в точке С – шарнир. На левый стержень действует сила F₁ и пара с моментом М, а на правый равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и горизонтальная сила F₂.

Дано: F₁=15кН, F₂=10кН, M=6кНм, q=30кН/м, a=0,3м.

Определить: реакции в точках A, B, C вызванные заданными нагрузками.

Рисунок 5.12

Конструкция состоит из двух стержней, т.е. можно составить шесть уравнений равновесия, по три для каждого стержня. В опорах А и В по две неизвестных составляющих реакций опор. В точке С шарнир, в котором возникают две пары взаимноуравновешенных сил. Силы X_C и Y_C выражают действие левого стержня на правый, а X’_C и Y’_C наоборот, действие правого на левый (рис. 5.13). Задача является статически определимой, так как количество неизвестных соответствует количеству уравнений равновесия.

Для решения задачи разделим конструкцию на части, приложим соответствующие реакции связей и заменим распределенную нагрузку на эквивалентную сосредоточенную силу Q, приложенную по центру распределения. Модуль силы Q будет равен:

.

Рисунок 5.13

Составляем условие равновесия правой части:

, , (1)

, , (2)

,

, (3)

В полученных уравнениях четыре неизвестных. Определить реакции опор для правого стержня пока невозможно. Составляем условия равновесия для левого стержня.

, , (4)

, , (5)

,

, (6)

В данной системе также четыре неизвестных. Поэтому требуется рассматривать систему из шести уравнений, учитывая, что и .

Для упрощения расчетов 3 и 6 уравнения были составлены так, чтобы в них были по две одинаковые неизвестные реакции. Составим из данных уравнений систему, заменив X’_C и Y’_C на X_C и Y_C соответственно:

Решив данную систему уравнений, получим , .

Подставляя найденные значения реакций в уравнения (1), (2), (4), (5) определим остальные неизвестные.

,

,

,

.

Ответ: X_A=4,305кН, Y_A=20,135кН, X_B=-4,91кН, Y_B=17,47кН, X_C=14,91кН, Y_C=9,53кН.