Раздел 2. Линейное программирование
-
Характеристика линейной оптимизационной модели. Примеры задач линейного программирования и графический метод их решения.
С классом детерминированных моделей мы начинаем знакомство с помощью моделей линейного программирования. Для описания таких моделей используются линейные функции. Разумеется, реальные зависимости между экономическими переменными, как правило, являются нелинейными. Однако на практике допущение о линейности используется весьма часто.
Познакомимся с характерными примерами линейных моделей оптимизации.
Задача определения оптимальной производственной программы.
Предприятие выпускает n видов продуктов, используя m видов ресурсов, запасы которых в рассматриваемом периоде изменить нельзя.
Известны:
- цены продажи
изделий
;
- запасы ресурсов
;
- нормы расхода
ресурсов на выпуск единицы изделия
.
Требуется: определить объемы выпуска изделий, обеспечивающие предприятию максимум выручки.
Введем в модель
задачи вектор х,
компоненты которого
обозначают объемы выпуска изделий. В
таком случае целевая функция задачи
будет иметь следующий вид:
.
Для построения ограничений задачи воспользуемся таблицей коэффициентов (табл. 1) и обозначениями показателей запасов ресурсов .
Таблица 1. Нормы расхода ресурсов ( коэффициенты )
|
Продукт 1 |
Продукт 2 |
…. |
Продукт n |
Ресурс 1 |
|
|
…. |
|
Ресурс 2 |
|
|
….. |
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
Ресурс m |
|
|
…… |
|
Ограничения по ресурсам:
Модель задачи можно представить в виде краткой формы записи:
при ограничениях
.
Рассмотренная
выше задача имеет симметричную форму
записи, для которой характерно
одновременное соблюдение трех признаков:
1) целевая функция максимизируется; 2)
все ограничения являются неравенствами
со знаком «
»;
3) все переменные имеют неотрицательное
значение. Такая разновидность симметричной
записи именуется симметричной на
максимум целевой функции. Далее будет
рассмотрена задача, которая также имеет
симметричную запись, но в другом ее
варианте.
Задача определения оптимального состава технологической смеси.
Смесь включает m компонентов. Для ее изготовления доступны n продуктов. Содержание компонентов не может быть ниже установленного минимума.
Известны:
- цены продуктов
;
- показатели
минимально допустимого содержания
компонентов
;
- показатели
концентрации компонентов в продуктах
.
Требуется составить смесь минимальной стоимости.
Введем в модель
задачи вектор x,
компоненты которого
обозначают
количества продуктов для составления
смеси. В таком случае формула
целевой функции (стоимость смеси) примет следующий вид:
.
Для построения ограничений воспользуемся таблицей коэффициентов (табл. 2) и обозначениями показателей минимально допустимого содержания компонентов .
Таблица 2. Показатели концентрации компонентов в продуктах (коэффициенты ).
|
Продукт 1 |
Продукт 2 |
…. |
Продукт n |
Компонент 1 |
|
|
…. |
|
Компонент 2 |
|
|
….. |
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
Компонент m |
|
|
…… |
|
Ограничения по компонентам:
Данная задача,
как и задача определения оптимальной
производственной программы, также имеет
симметричную запись, однако другую ее
разновидность – симметричную на минимум
целевой функции. Для такой разновидности
записи характерно одновременное
выполнение трех требований: 1) целевая
функция минимизируется; 2) все ограничения
являются неравенствами со знаком «
»;
3) все переменные имеют неотрицательное
значение.
Транспортная задача.
В распоряжении m грузоотправителей имеется некоторый запас однородного груза, который необходимо доставить n грузополучателям, в соответствии с объемами их потребностей.
Известны:
- тарифы ( ден. ед.)
на доставку единицы груза
;
- показатели запасов
груза ( физ ед.)
;
- показатели
потребностей в грузе (физ. ед.)
.
Требуется: составить план перевозок груза, минимизирующий суммарные затраты на доставку его потребителям.
В таблице 3 отражены исходные данные задачи. Предваряя составление модели, следует заметить, что в отличие от ранее рассмотренных задач, в транспортной задаче ограничения являются равенствами. Это объясняется тем, что суммарный запас груза в точности совпадает с суммарной потребностью в нем.
Таблица 3. Тарифы на доставку единицы груза и прочие исходные данные.
|
Получатель 1 |
Получатель 2 |
…………. |
Получатель n |
Запас груза |
Отправитель 1 |
|
|
………….. |
|
|
Отправитель 2 |
|
|
…………. |
|
|
. . . |
. . . |
. . . |
|
. . . |
. . . |
Отправитель m |
|
|
…………. |
|
|
Потребность в грузе |
|
|
………….. |
|
|
Пусть
переменные задачи
обозначают
количество груза, доставляемого i-тым
отправителем j-тому
получателю.
Формула целевой функции:
.
Ограничения:
Транспортная задача имеет каноническую форму записи. В канонической записи должны одновременно соблюдаться два требования: 1) все ограничения являются равенствами; 2) все переменные имеют неотрицательное значение. В дополнение следует заметить, что запись с нарушением требований симметричной или канонической форм называется общей.
Рассмотрим несложный пример задачи линейного программирования с двумя инструментальными переменными. Такую задачу можно решить графическим методом. Стоит напомнить, что графический метод можно применить во всех случаях, когда запись модели задачи можно представить так, что она будет содержать не более двух инструментальных переменных.
Пример ЗЛП.
Предприятие выпускает изделия двух видов. Цена реализации изделия первого вида равна 4 ден. ед., а изделия второго вида - 6 ден. ед. Для изготовления изделий предприятие использует два вида ресурсов, запасы которых составляют, соответственно, 18 и 12 физ. ед. В рассматриваемом периоде запасы ресурсов изменению не подлежат. Установлены нормы расхода ресурсов на выпуск единицы изделия каждого вида (см. таблицу исходных данных). Анализ состояния спроса показал, что емкость рынка для первого изделия составляет 12 физ. ед., а для второго – 9 физ. ед. Необходимо определить план выпуска изделий, максимизирующий валовой доход (выручку) предприятия.
Таблица 4. Исходные данные задачи.
|
Нормы расхода ресурсов на единицу изделия, физ. ед. |
Запас ресурса, физ.ед. |
|
Для продукта 1 |
Для продукта 2 |
||
Ресурс 1 |
1 |
1 |
18 |
Ресурс 2 |
0,5 |
1 |
12 |
Емкость рынка, физ.ед. |
12 |
9 |
|
Цена единицы изделия, ден. ед. |
4 |
6 |
|
Математическая модель задачи:
при ограничениях
Данная задача может быть решена графическим методом.
На рис. 1 приведено графическое решение задачи.
Примечания.
А) Для построения ОДР использованы следующие обозначения линий ограничений:
(1)
(2)
(3)
(4)
Б)
Для построения линий уровня Z
использовался кратный градиенту
вектор l=(12;18).
9
12
18
12
18
Рис.1. Графическое решение задачи