3.1. Ігри з природою в умовах визначеності

Якщо людина, яка виступає проти природи, має статистичні дані про закономірності в конкретних проявах природи, то завдання легко вирішити ймовірнісними методами.

Таким чином, якщо вірогідність станів природи відома і не змінюються з часом (стаціонарність), то визначається рішення, яке дає найбільше математичне очікування виграшу в умовах відомої стратегії природи – стану або умови.

Приклад.

Фірма купила верстат за 100 гр.од. Для ремонту верстата можна купити спеціальне устаткування за 50 гр.од. чи обійтися старим устаткуванням. Якщо верстат виходить з ладу, його ремонт за допомогою спецобладнання обходиться в 10 гр.од., без спецобладнання – в 40 гр.од. Відомо, що протягом терміну експлуатації верстат виходить з ладу не більше трьох разів: вірогідність того, що верстат не зламається – 0,3; зламається 1 раз – 0,4; зламається 2 рази – 0,2; зламається 3 рази – 0,1. Потрібно визначити доцільність придбання спеціалізованого ремонтного устаткування.

Формалізація. Перший гравець має дві чисті стратегії: купувати і не купувати спеціалізоване ремонтне устаткування. У природи – другого гравця – чотири стани: верстат не вийде з ладу, вийде один раз, зламається двічі і три рази. Функція виграшу – витрати фірми на купівлю і ремонт верстата, задається платіжною матрицею:

Ремонтне устаткування	Вихід верстата з ладу
	жодного разу	1 раз	2 рази	3 рази
не купити	-100	-140	-180	-220
купити	-150	-160	-170	-180

Рішення. Розглянемо спочатку задачу як антагоністичну гру.

Методом мінімаксу знаходимо сідлову точку: (2,4). Таким чином:

x* = ( 0, 1 );

y* = ( 0, 0, 0, 1 );

v* = – 180 гр.од.

Відповідь: треба купити спеціалізоване устаткування.

Проте в іграх з природою ситуація докорінно змінюється: вже в умові закладена стійка змішана стратегія природи:

у = ( 0,3; 0,4; 0,2; 0,1)

і ми знаємо, що саме цієї стратегії дотримується природа.

Якщо ж людина – перший гравець – продовжуватиме грати оптимально, то його виграш складе

v(x*) = – 150*0,3 – 160*0,4 – 170*0,2 – 180*0,1 = – 161,

а якщо застосує першу, неоптимальну стратегію, то математичне очікування його виграшу складе

v(x') = – 100*0,3 – 140*0,4 – 180*0,2 – 220*0,1 = – 144 .

Таким чином, першому гравцеві вигідно грати неоптимально!

Відповідь: не купувати спеціалізоване устаткування.

Істотна відмінність між значеннями v(x*) і v(x') пояснюється тим, що змішана стратегія природи неоптимальна і вона, "відхиляючись" від своєї оптимальної стратегії "недоотримує" 36 гр. од. виграшу.

3.2. Ігри з природою в умовах невизначеності

Якщо ж розподіл імовірності майбутніх станів природи невідомий, уся інформація про природу зводиться до переліку її можливих станів.

Приклад.

Гра "Постачальник". Випуск продукції фірми істотно залежить від матеріалу, який швидко псується, наприклад, молока або ягід, які постачаються партіями вартістю 100 гр.од. Якщо постачання не прибуває вчасно, фірма втрачає 400 гр.од. від недовипуску продукції. Фірма може направити до постачальника свій транспорт (витрати 50 гр.од.), проте досвід показує, що в половині випадків транспорт повертається ні з чим. Можна збільшити імовірність отримання матеріалу до 80%, якщо заздалегідь направити свого представника, але витрати збільшаться ще на 50 гр.од. Існує можливість придбавати дорожчий (на 50%) матеріал-замінник в іншого, цілком надійного постачальника, проте, окрім витрат на транспорт (50 гр.од.), можливі додаткові витрати зберігання матеріалу в розмірі 30 гр.од., якщо його кількість на складі перевищить допустиму норму, яка дорівнює одній партії.

Якої стратегії повинен дотримуватися завод в ситуації, що склалася?

Формалізація. У природи два стани: постачальник надійний і постачальник ненадійний. У фірми – чотири стратегії:

1) не здійснювати ніяких додаткових дій,

2) послати до постачальника свій транспорт,

3) послати до постачальника представника і транспорт,

4) купити і привезти матеріал-замінник від іншого постачальника.

Складемо таблицю розрахунків :

	Витрати і збитки фірми-виготовлювача
Ситуація	Вартість матеріалу	Недовипуск продукції	Транспорт	Відрядні витрати	Витрати зберігання	Загальна сума
1-1	- 100	0	0	0	0	- 100
1-2	0	- 400	0	0	0	- 400
2-1	- 100	0	- 50	0	0	- 150
2-2	- 50	- 200	- 50	0	0	- 300
3-1	- 100	0	- 50	- 50	0	- 200
3-2	- 80	- 80	- 50	- 50	0	- 260
4-1	- 250	0	- 50	0	- 30	- 330
4-2	- 150	0	- 50	0	0	- 200

Рішення. На основі отриманих результатів обчислень можна скласти платіжну матрицю:

вар. 1	вар. 2	min	max
- 100	- 400	- 400
- 150	- 300	- 300
- 200	- 260	- 260	- 260
- 330	- 200	- 330

Відповідь. Треба дотримуватися третьої стратегії і витрати не перевищать 260 гр.од., якщо відправити до постачальника представника і транспорт.

ВАРІАНТИ ДІЙ: