4.6.1. Корреляционные функции и спектральные плотности случайных процессов на выходе перемножителей
На
выходе верхнего перемножителя (ПМ-1)
получаем сигнал
.
Определим математическое ожидание
этого случайного сигнала
.
(51)
Это
равенство получено на основании того,
что сомножители
и
представляют собой независимые случайные
процессы (ранее отмечалось о независимости
случайной фазы
от сигнала
).
Случайный процесс , равный
,
(52)
формируется
на выходе блока ФМС при подаче на его
вход случайного процесса
с выхода блока кодера (К). Определим
и
,
входящие в (51):
=
=
,
(53)
где – детерминированный сигнал.
Согласно (37) из разд. 4.5.можем написать
0.
(54)
Подставляя (54) в (53), получим
.
(55)
Следовательно, – центрированный процесс.
Математическое
ожидание сигнала
,
зависящего от случайной величины
с равномерной плотностью вероятности
на интервале
,
определим по формуле
=
.
(56)
Подставляя
(55) и (56) в (51), получим
.
Это равенство означает, что случайный
процесс
является центрированным, поэтому
корреляционная функция
этого процесса определяется в виде:
=
=
=
=
,
(57)
где
=
;
(58)
– детерминированная
функция.
Аналогично
(56) получим
,
и выражение (57) примет окончательный
вид
.
(59)
Из равенства (59) следует, что случайный сигнал на выходе перемножителя обладает свойством стационарности, так как
1) математическое ожидание этого сигнала постоянно,
2)
корреляционная функция зависит от
разности времен
.
Тогда (59) будет иметь вид
.
(60)
На
рис. 22 представлен график функции
,
определенный по (60). При построении
этого графика учитывался график
в разд. 4.4, рис. 11.
Рис. 22. График
корреляционной функции случайного
процесса
Нетрудно показать, что имеет место равенство
.
(61)
Спектральную плотность мощности сигнала на выходе перемножителя определим на основании теоремы Винера–Хинчина (рис. 23). Преобразуя функцию по Фурье, получим
.
(62)
Графики
функций
и
получаются из графика функции
путем его смещения, соответственно,
вправо и влево на величину
.
Аналитическое выражение для спектральной
плотности мощности
определяет формула (26) в разд. 4.4. Форма
графика
строится с учетом пояснения формулы
(26) в разд. 4.4.
Рис. 23. График
функции
Также
из (62) следует
.
4.6.2. Корреляционная функция и спектральная плотность мощности случайного процесса на выходе модулятора
При
определении корреляционной функции
случайного сигнала
на выходе
модулятора (на выходе сумматора)
аналитическое выражение (42) для этого
сигнала, с учетом введения случайной
фазы
,
необходимо представить в виде
=
–
(63)
Ранее были получены выражения (55) и (56), согласно которых
и
.
Аналогично
можно показать,
что
и
.
Из
этих выражений следует, что
,
т. е. случайный
сигнал
является центрированным случайным
процессом, поэтому его корреляционную
функцию запишем в виде
.
(64)
Поскольку
случайные процессы
и
независимы, то взаимные корреляционные
функции
, 
(65)
Подставляя
(65) в (64) и, учитывая, что
и
,
получим
Так
как
– детерминированная функция, то
и получим
,
где
.
Согласно
(25) из разд. 4.4 имеем
и
тогда окончательно получим
,
(66)
Сравнивая
(66) с (61), делаем вывод, что с точностью
до множителя
функция
равна функции
.
Также с точностью до множителя
форма
графика
соответствует форме графика
(рис. 22).
Преобразуя
(66) по Фурье, найдем спектральную плотность
мощности
сигнала
на выходе модулятора. Спектральная
плотность
с точностью до множителя
будет равна
,
определяемая (62) и ее форма на рис. 23.