Аппроксимация первой и второй производных через конечные разности

Вспомним определение первой производной. Если f (x) – функция одной переменной и x₀  [a, b], то функцию f  (x) можно записать

, (1)

где x₀ – фиксированная точка.

Геометрическая интерпретация показана на рис. 1. Пусть на графике функции f заданы фиксированная точка P₀ [x₀, f (x₀)] и подвижная точка P [x, f(x)], и секущая, проведенная через эти точки, образует угол  с положительным направлением оси x.

. (2)

Рис. 1. Геометрическая интерпретация первой производной

Разностное отношение функции f в точке x₀ равно угловому коэффициенту секущей, проведенной через точки P и P₀.

Функция f называется дифференцируемой в точке x₀[a,b], если существует предел разностного отношения функции в точке x₀:

. (3)

Предел (3) называется производной функции f в точке x₀ и обозначается

. (4)

Производная функции f в точке x₀ – это тангенс угла наклона касательной к графику функции f в точке P₀[x₀, f(x₀)] (рис. 1)

. (5)

Простейшая формула численного (приближенного) дифференцирования для непрерывной функции в точке x₀ через конечные разности имеет вид

(6)

или ,

где x=x₁ – x₀ или в общем виде x=x_i – x_i-1 – шаг дифференцирования, величина которого должна быть достаточно малой.

Если производная функции f ^/ (4) дифференцируема в точке x₀, то называется второй производной функции f в точке x₀ и обозначается одним из приведенных способов

. (7)

Формула численного нахождения второй производной

(8)

При подстановке в (8) выражения для нахождения первой производной получим

(9)

или .

При численном дифференцировании исходят из того, что функция f (x) задана конечной последовательностью пар значений (x_i , f_i) без помехи, и приближенные значения величин и находят по формулам (6) и (9).

Вариант 2

Численное вычисление значений определенного интеграла

Под определенным интегралом функции f (x) на отрезке [a, b] чаще всего понимают площадь криволинейной фигуры под графиком функции f (x) (рис. 1). Предполагается, что отрезок от a до b разбит на множество маленьких интервалов величиной h, и вычислены площади i-х столбцов S_i = f (x_i)^. h, тогда можно с заданной точностью определить значение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x) и равной сумме площадей элементарных интервалов.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла непрерывной функции f (x) на отрезке [a, b] применяют формулу Ньютона-Лейбница

, (1)

где F(a), F(b) – первообразные функции от подынтегральной функции F(x) = f `(x). Однако использовать формулу (1) в большинстве случаев невозможно. Для многих функций f (x) первообразную F(x) сложно определить. Кроме того, функция f (x) может быть задана не аналитически, а таблично. В этом случае используют приближенные формулы для вычисления интеграла.

Численное интегрирование широко применяется в практических расчетах, учитывая простую реализацию на компьютере и разнообразие реальных функциональных зависимостей, не описываемых элементарными функциями, заданными таблично и др.

Существует несколько методов численного интегрирования. Наиболее известные из них методы прямоугольников (4), метод трапеции (6) и метод Симпсона. Сформулируем общую постановку задачи.