48

ЛЕКЦИЯ 5

РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ

Тема 4. Методы оценки информативности диагностических параметров

План лекции

4.1.Определение состояний объекта

4.2.Определение контролируемых параметров

4.3.Оценка информативности контролируемых параметров

Если для контроля технического состояния использовать все контролируемые параметры (без какого-либо их отсева), то получаемые системы контроля будут перегружены датчиками, а программы диагностирования весьма громоздки. В этой связи очевидна необходимость уметь выбирать из выделенных признаков такое их минимальное количество, которое было бы необходимо и достаточно для распознавания каждого состояния объекта. В этом случае и объект контроля, и средства контроля будут наиболее простыми и эффективными.

4.1. Определение состояний объекта

При диагностировании объектов обычно рассматриваются и учитываются только два характерных состояния:

•объект функционирует;

•объект не функционирует.

Однако с учетом комплектующих объекта (блоков, агрегатов, деталей) фактическое число состояний может быть существенно больше, например:

•первый блок объекта функционирует;

•второй блок объекта не функционирует;

•третий блок объекта функционирует и т.д.

Вэтой связи задача определения числа состояний объекта по существу сводится к задаче определения числа таких блоков или агрегатов, отказ которых приводит к отказу всего объекта в целом.

Вобщем случае, когда объект состоит из N комплектующих, возможное

число состояний может быть определено по формуле

S = 2N.

Число состояний, когда объект не функционирует (объект отказал), равно

So = S – 1.

Например, пусть рассматриваемый объект состоит из двух последовательно соединенных комплектующих (агрегатов) так, как это показано на рисунке 10.

Рис. 10. Схема объекта из двух агрегатов

Тогда можно выделить четыре возможные состояния объекта:

•отказал первый агрегат;

•отказал второй агрегат;

•отказали первый и второй агрегаты;

•объект функционирует (не отказали ни первый, ни второй агрегаты).

Из общего числа состояний S число неработоспособных состояний SN может

быть определено по формуле

SN = 2N – 1.

Очевидно, что при последовательном соединении элементов в рассматриваемом примере состояния 1,2,3 свидетельствуют о неработоспособности всей системы. Число состояний, соответствующих отказу всего объекта, 4 - 1= 3.

При контроле реальных технических систем, состоящих из большого числа элементов, даже при учете для каждого элемента только двух состояний общее количество возможных состояний оказывается чрезвычайно большим. Например, у объекта, состоящего из 200 деталей, общее число возможных состояний S = 2200, а число состояний неправильного функционирования SN = 2200-1

Для уменьшения числа учитываемых состояний объекта принимают следующие допущения:

1. Вероятность одновременного возникновения в системе отказов двух и более элементов пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью отказа только одного элемента. Фактически это означает, что число неработоспособных состояний системы может быть определена по формуле

SN = N,

где N - количество элементов в системе (в объекте контроля).

2. Можно исключить из рассмотрения отказы тех элементов, вероятность отказа которых мала, или их отказы не имеют опасных последствий. В этой связи число возможных состояний, практически приводящих к отказу всего объекта, равна

SN < N.

Перечисленные допущения позволяют существенно (на несколько порядков) снизить размерность числа рассматриваемых состояний у контролируемых объектов.

Последовательность выбора контролируемых состояний и их признаков рассмотрим на примере упрощенной схемы системы, которая представлена на рис.11.

Из рисунка следует, что рассматриваемая система состоит из девяти элементов. При этом общее количество ее возможных неработоспособных состояний

SN =29 - 1 = 511.

51

римент. Применительно к рассматриваемому примеру на рис.13 представлена схема причинно-следственных связей между Si и Xi.

Рис. 13. Схема взаимосвязи состояний и признаков

Построенная на рис.13 схема причинно-следственных связей в принципе позволяет выбрать минимально необходимое количество признаков, необходимых для контроля и выявления всех пяти неработоспособных состояний (ибо ясно, что восемь предварительно отобранных признаков явно избыточно). Однако для облегчения отбора минимально необходимого количества признаков схему причинно-следственных связей представляют не в графической, а в табличной (матричной) форме (рис.4.1). Табличная форма строится на основе графической схемы.

В таблице строки образованы признаками состояний, столбцы - состояниями, а элементами матрицы являются нули или единицы. Нуль проставляется на пересечении строки и столбца в том случае, если соответствующий признак не реагирует на соответствующее состояние. Единица проставляется в противном случае.

52

Анализ таблицы позволяет исключить полностью дублирующие друг друга признаки. Дублирующими (лишними) являются признаки, повторяющие комбинацию нулей и единиц. Из двух взаимодублирующих признаков обычно удаляют тот, который труднее (дороже, долговременнее) контролировать. В нашем примере удаляются из дальнейшего рассмотрения признак X2 (он дублирует признак X3)

ипризнак X7 (он дублирует признак X6).

Вдиагностике считают, что взаимодублирующие признаки имеют одинаковую информацию.

4.3. Оценка информативности контролируемых параметров

Если для контроля технического состояния использовать все контролируемые параметры (без какого-либо их отсева), то получаемые системы контроля будут перегружены датчиками, а программы диагностирования весьма громоздки. В этой связи очевидна необходимость уметь выбирать из выделенных признаков такое их минимальное количество, которое было бы необходимо и достаточно для распознавания каждого состояния объекта. В этом случае и объект контроля, и средства контроля будут наиболее простыми и эффективными.

Исходя из сказанного, становится очевидной необходимость отбора из первоначально выделенных признаков такого их минимального количества, которых было бы необходимо и достаточно для распознавания каждого состояния объекта. Именно в этом случае и объект контроля, и средства контроля будут наиболее простыми и эффективными.

Выбор минимального количества признаков состояний обычно проводится на основе элементов теории информации, и в частности, на основе метода И.М. Синдеева. Необходимо отметить, что данный метод может быть использован не только для решения задачи минимизации количества контролируемых параметров (признаков состояний), но и для решения задачи определения места отказа системы.

Информационную неопределенность системы, могущей находиться в N состояниях, количественно можно оценить энтропией H(S), которая определяется по формуле

N

H (S) = ∑Pi log2 Pi ,

i =1

где Pi - вероятность того, что объект контроля находится в i-м состоянии; log2 - логарифм с основанием 2.

За единицу энтропии принимается неопределенность состояния простейшей системы, состоящей из двух равновероятных состояний. То есть при N = 2, P1 = P2 = 0.5 по формуле получим

H (S) = −(0.5 log2 0.5 + 0.5 log2 0.5) =1бит.

Определенная таким образом единица энтропии называется двоичной единицей и обозначается "бит".

При контроле технического состояния часто принимается допущение о равновероятности отказа ее элементов, то есть о равной вероятности состояний. Для

53

случая N равновероятных состояний (P1 = P2 =....PN = 1/N) величина энтропии системы H(S) будет равна

Используя предыдущую зависимость, можно сказать, что энтропия системы H(S), например при N = 8, будет равна

H (S) = log2 8 =3 .

Очевидно, что по мере проверки наличия тех или иных признаков (то есть по мере проверки численных значений контролируемых параметров) информационная неопределенность системы будет уменьшаться. Так, если перед проверкой неопределенность системы оценивается энтропией H(S), то после проверки признака Xi уменьшившаяся энтропия H (Sxi ) будет равна

H (Sxi ) = PX i H X i (S) + PX' i H X' i (S) ,

где PX i - вероятность того, что система находится в тех состояниях, в которых

признак xi критичен, то есть xi = 1.

Очевидно, что величина PX i может быть определена по формуле

PX i = mN ,

PX' i - вероятность того, что система находится в тех состояниях, к которым признак xj некритичен, то есть xi = 0.

Очевидно, что величина PX' i может быть определена по формуле

PX' i = Nn .

H X i (S) - энтропия тех m состояний системы, к которым признак xj критичен, то есть xi=1. Величина H X i (S) по аналогии равна

H X i (S) = log2 m.

H X' i (S) - энтропия тех n состояний системы, к которым признак xj некритичен, то есть xi=0. Величина H X' i (S) по аналогии равна

H X' i (S) = log2 n ,

где m - число единиц в строке данного признака xj; n - число нулей в строке данного признака xj.

Тогда величину информации Ixi, которую несет проверка признака (параметра) xi, можно количественно оценить как разность энтропии системы перед проверкой признака H(S) и энтропией системы после проверки этого признака H (Sxi ) . То есть с учетом предыдущих формул, а также, учитывая, что m + n = N,

можно записать

I X i = H (S) − H (S xi ) = log2 N − ( mN log2 m + Nn log2 n) .