§1.2. Кинематика вращения

Вращение твердого тела описывают с помощью угловых характеристик движения:  - угловое перемещение;  - угловая скорость;  - угловое ускорение. Это псевдовектора, направлены вдоль оси вращения в соответствии с правилом правой руки – четыре пальца по направлению вращения тела, большой указывает направление векторов  и . - направлен как  при ускоренном вращении и противоположно при замедленном.

Интегрально-дифференциальная взаимосвязь между угловыми характеристиками движения такая же как между линейными:

; ; .

; ; .

Взаимосвязь меду линейными и угловыми характеристиками движенияi-той точки, находящейся на расстоянии r_iот оси вращения: ;

= ; .

Пример 1.6.Колесо вращается по часовой стрелке. К ободу колеса приложена сила, направленная по касательной. Как направлены угловое перемещение, скорость, ускорение?

Р ешение: направление углового перемещения и скорости определяем по правилу правой руки (4). Сила действует на диск в направлении его вращения – значит движение ускоренное, тогда угловое ускорение направлено как угловая скорость, т.е. по направлению (4).

Пример 1.7.Ускорение на участке 1-2 с, равно: 105 15 20

Р ешение: линейная зависимость угловой скорости от времени – это равноускоренное движение, ускорение определяется формулой: . Для участка от 1с до 2с подставим значения скорости и времени:

.

П ример 1.8.Тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения, равно (м/с²)

 -0,5  0,5  5  -5

Решение: , по графику определим угловое ускорение, возьмем два значения скорости и соответствующие им моменты времени: ,

Ответ: .

П ример 1.9.Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, изменяется со временем в соответствии с графиком, представленным на рисунке.Зависимость угловой скорости тела от времени (в единицах СИ) задается уравнением … =10+5t =0,1(1+0,5)t

=10+7,5t =0,1(1+7,5)t

Решение: на графике приведена зависимость от времени линейной скорости точки, находящейся на расстоянииr = 10 cм = 0,1 м от оси вращения тела. Угловая скорость вращения тела, равна , т.е. чтобы записать уравнение угловой скорости тела мы должны найти уравнение линейной скорости точки и разделить на расстояние до оси.Скорость линейно возрастает со временем – это равноускоренное движение, при котором

_{где v0=1м/c;v=4 м/с; t=6 c}

Ответ:

Пример 1.10. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем как показано на графике. Угловое перемещение (, рад) в промежутке времени от 2 с до 4 с равно…6 2 4 8

Р ешение: вспомним, что перемещение – это интеграл скорости и равно площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. График скорости, ось времени на промежутке (2,4) образуют трапецию, площадь которой и будет равна перемещению.

Площадь трапеции – произведение высоты на полусумму оснований (s=h∙(a+b)/2), где h=2 c; a=4 рад/с; b= 2рад/с

.

§1.3. Центр масс

Центр масс системы взаимодействующих тел или тела – это точка, в которой к телу прилагается сила тяжести, ее положение определяется радиус-вектором:

, где m – масса всей системы

– скорость центра масс системы тел;

– импульс системы тел равен импульсу центра масс.

Пример 1.11. Вдоль оси ОХ навстречу друг другу движутся две частицы с массами m₁ = 2г, m₂ = 6г и скоростями v₁ = 9 м/с, v₂ = 3 м/ссоответственно. Проекция скорости центра масс на ось ОХ (в единицах СИ) равна…

Р ешение:проекция скорости центра масс на ось ОХ равна

Где m₁ = 0,002 кг, m₂ = 0,006 кг, m = 0,011 кг,v_1х = 9 м/с, v_2х = -3 м/с

Ответ: .