Тема 22.Уравнение Шредингера

Основной характеристикой состояния квантовой системы является волновая функция Y (х, у, z, t). Вероятностьнахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и х+dх, yиy+dy, zиz+dzопределяется: W = [Y (х, у, z, t)]². Для определения волновой функции Y = Y (х, у, z, t) используется уравнение Шрёдингера:

,

где m -масса частицы, i =   -мнимая единица,  = 2π/h -постоянная Планка, - оператор Лапласа,U(x, y, z, t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле.

При движение частицы в стационарном силовом поле U(x, y, z)уравнение Шредингера имеет вид: ,

где E -полная энергия частицы.

При свободном движении частицы U(x, y, z) = 0уравнение Шредингера имеет вид:

.

Пример 22.1.Стационарное уравнение Шредингера имеет вид  . Это уравнение описывает …

Решение: Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид  , где U = U(x,y,z)  – потенциальная энергия микрочастицы. В данном случае  - выражение представляет собой потенциальную энергию электрона в водородоподобном атоме.

Пример 22.2.Частица находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике с непроницаемыми стенками шириной 0,2 нм. Если энергия частицы на втором энергетическом уровне равна 37,8 эВ, то на четвертом энергетическом уровне равна _____ эВ.

_{Решение: Энергия частицы в прямоугольном одномерном потенциальном ящике с непроницаемыми стенками определяется из решения стационарного уравнения Шредингера:} . Энергия частицы может принимать следующие значения , в зависимости от n – главного квантового числа, l – ширины ямы и m – массы частицы. ħ – постоянная Планка. Следовательно, энергия частицы на втором и четвертом энергетических уровнях будет определяться: и

Пример 22.3.Стационарное уравнение Шредингера имеет вид  . Это уравнение описывает …

Решение: Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид  , где U = U(x,y,z) – потенциальная энергия микрочастицы. В данной задаче   соответствует гармоническому осциллятору, то есть движению частицы под действием квазиупругой силы. Следовательно, данное уравнение описывает движение частицы под действием квазиупругой силы, то есть линейный гармонический осциллятор.

Пример 22.4.Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид  . Здесь U = U(x,y,z) - потенциальная энергия микрочастицы. Трехмерное движение свободной частицы описывает уравнение …

Решение: Свободной называется частица, не подверженная действию силовых полей. Это означает, что U = 0. Поэтому трехмерное движение свободной частицы описывает уравнение  .

Пример 22.5.На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний с различными значениями главного квантового числа n. В состоянии с n = 3 вероятность обнаружить электрон в интервале от l/6 до l/2 равна …

Решение: Вероятность обнаружить микрочастицу в интервале (0, l) для состояния, характеризуемого определенной Ψ-функцией, равна . Вероятность находится как отношение площади под кривой |Ψ(x)|² в интервале (0, b) к площади под кривой во всем интервале существования |Ψ(x)|², то есть в интервале (l/6, l/2). Тогда в состоянии с n = 3 - вероятность обнаружить электрон в интервале от от l/6 до l/2 будет равна 1/3.