§14.4. Вынужденные колебания, резонанс

Вынужденные механические колебания ― это колебания возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные механические колебания имеет вид:

,

где ω₀ — собственная частота колебаний; δ ― коэффициент затухания; — внешняя периодическая сила, действующая на материальную точку и вызывающая вынужденные колебания, ― амплитудное значение этой силы; .

Амплитуда вынужденных механических колебаний:

.

Начальная фаза вынужденных механических колебаний:

.

П ример 14.13. Колебания материальной точки, происходящее под действием внешней периодически изменяющейся силы, описывается дифференциальным уравнением:

где δ – коэффициент затухания; ω₀ – циклическая частота собственных колебаний; ω – циклическая частота вынужденных колебаний; f₀ – амплитуда вынуждающей силы, отнесенная к массе тела. Зависимость смещения x материальной точки от времени изображена на рисунке …  1  2  3  4

Р ешение: уравнение вынужденных колебаний — это линейное неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения . Общее решение играет существенную роль только в начальной стадии процесса установления гармонических колебаний с частотой ω вынуждающей силы. Из графика видно, что амплитуда вынужденных колебаний постепенно нарастает, и затем устанавливается гармоническое колебание с частотой вынуждающей силы.

Механический резонанс ― это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте равной или близкой собственной частоте колебательной системы.

Резонансная частота и резонансная амплитуда

и .

Пример 14.14. Пруженный маятник с жесткостью пружины совершает вынужденные колебания со слабым коэффициентом затухания (δ«ω_0), которые подчиняются дифференциальному уравнению . Амплитуда колебаний будет максимальна. Если массу груза увеличить в _______ раз(-а).

 3  9  0,3  0,9

Решение: явление резонанса наблюдается, когда частота вынуждающей силы равна или близка собственной частоте колебательной системы. По условию задания частота вынуждающей силы ω = 10 с^-1. Известно, что для пружинного маятника . Из уравнения видно, что . Тогда реальная масса пружинного маятника . Условия резонанса: будут выполнены, если масса пружинного маятника составит . Следовательно, амплитуда колебаний будет максимальна (явление резонанса), если масса груза увеличить в раз.

Вынужденные электромагнитные колебания ― колебания, возникающие под действием внешней, периодически изменяющейся по гармоническому закону, э.д.с.:

Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные электромагнитные колебания имеет вид:

,

где ω₀ — собственная частота колебаний; δ ― коэффициент затухания; — внешняя периодическая сила, действующая на материальную точку и вызывающая вынужденные колебания, ― амплитудное значение внешней, периодически изменяющейся по гармоническому закону, э.д.с.; Q — заряд конденсатора; L ― индуктивность контура.

Амплитуда вынужденных электромагнитных колебаний

.

Начальная фаза вынужденных электромагнитных колебаний

.

Пример 14.15. Вынужденные колебания заряда конденсатора в колебательном контуре описывается уравнением …







Решение: дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные электромагнитные колебания имеет вид:

,

где — внешняя периодическая сила, действующая на материальную точку и вызывающая вынужденные колебания, ― амплитудное значение внешней, периодически изменяющейся по гармоническому закону, э.д.с.; Q — заряд конденсатора; L ― индуктивность контура; С — емкость конденсатора

Уравнение — описывает затухающие колебания контура, а уравнение — является дифференциальным уравнением свободных колебаний контура.

Электрический резонанс ― это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к частоте равной или близкой собственной частоте колебательной системы.Резонансная частота и резонансная амплитуда (при малом затухании 䲫 )

и .

П ример 14.16. ЭДС в контуре меняется по закону: Зависимость силы тока от циклической частоты приведена на рисунке. Найдите значения электрического сопротивления колебательного контура во время электрического резонанса.

 50 Ом  15 Ом

 0,2 Ом  2 Ом

Решение: резонансная амплитуда силы тока в колебательном контуре определяется по формуле: . Согласно условию задания . Используя график, определим .Тогда