4.7 Расчет переходного процесса в скорректированной системе

Заключительным этапом синтеза является проверка качества скорректированной системы, поскольку построение желаемой ЛАЧХ основано на определенных допущениях. Кроме того, может иметь место приближенная реализация корректирующего устройства. С этой целью строится переходная характеристика замкнутой системы и определяются показатели ее качества. Расчет переходного процесса может выполняться классическим, операционным, частотным методами или путем численного интегрирования совокупности дифференциальных уравнений, описывающих систему, на ЭВМ.

Достоинством классического и операторного методов является высокая точность расчетов по сравнению с другими методами. Недостатком является необходимость нахождения корней характеристического уравнения, что для систем выше третьего порядка представляет определенные трудности.

Частотный метод базируется на рассмотрении проведения системы по ее частотным характеристикам. Частотный метод, использующий вещественные частотные характеристики замкнутой системы, называют методом трапеций.

4.7.1 Метод трапеций

Этот метод основан на уравнении, связывающем переходный процесс во времени с вещественной частотной характеристикой системы, записанной при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия

. (32)

При использовании этого метода сначала необходимо построить вещественную частотную характеристику (ВЧХ) замкнутой системы Р(ω).

Для определения ВЧХ аналитическим способом записывают выражение передаточной функции замкнутой скорректированной системы по формуле (3). Передаточную функцию W(р) разомкнутой системы находят по желаемой ЛАЧХ.

Подстановкой в передаточную функцию замкнутой системы р=jω получают частотную передаточную функцию и затем выделяют из нее вещественную часть по методике, описанной в п. 4.4.2 согласно выражениям (15) и (16).

По полученному выражению рассчитывают Р(ω), изменяя частоту от ω=0 до значения, при котором|Р(ω)|<0,05 Р(0), и строят график. Частота ω откладывается в линейном масштабе по оси ординат.

Построение переходного процесса методом трапеций производят в следующем порядке:

а)Вещественную частотную характеристику (рисунок 10) заменяют мало отличающимися от кривой горизонтальными и наклонными прямолинейными участками, образующими с осью ординат трапеции. Действительная ВЧХ при этом будет представлена как алгебраическая сумма трапецеидальных частотных характеристик

, (33)

где m – число трапеций.

Горизонтальные отрезки чертят в точках экстремумов. Первый отрезок должен начинаться из точки Р(0), т.к. эта точка определяет конечное значение переходной характеристики h(∞). Более тщательно нужно аппроксимировать начальный участок ВЧХ. Конечный участок с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чем 0,1Р(0) можно не принимать во внимание.

б)Полученные трапеции вычерчивают на другом чертеже таким образом, чтобы основание каждой из них легло на ось ω. На рисунке 10 график Р(ω) разбит на три трапеции.

в)Определяют параметры трапеций. Для каждой i-той трапеции по графику находят ω_di , ω_ni и высоту Р_i . Частоты отсчитывают от начала координат. По значениям ω_di , ω_ni вычисляют коэффициент наклона χ_i= ω_di/ ω_niи округляют до ближайшего из значений 0; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20 … 0,95; 1.

Высоту Р_i считают положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной - в противоположном случае. Сумма всех высот трапеций должна равняться значению ВЧХ при ω = 0

(34)

P ω) P (ω) p2 p2 ωd1 ωd1ωn1 ωd2 p3 ωn2 ωd3 ωn3 p3 р1 ωn1 ωd2 ωn2 ωd3 ωn3

Рисунок 10 – Вещественная частотная характеристика и замена ее на трапеции

г) Расcчитывают переходные процессы отдельно для каждой трапеции. В таблице h-функций (Приложение Ж) для каждой i-й трапеции отыскивается столбец , соответствующий значению коэффициента наклона χ_i. Затем для ряда значений условного времени τ выписывают соответствующие им значения h(τ). По значениям τ и h(τ) вычисляют значения действительного времени t и составляющей переходной характеристики h_i(t):

t=τ/ω_пі; h_i(t)=Ρ_і h(τ). (35)

Иногда можно брать лишь часть значений τ. Чем больше ω_пі, тем меньше точек нужно брать. При этом следует выбирать точки, равномерно отстоящие одна от другой, и определяющие максимумы и минимумы h(τ). Результаты оформляют в таблице 5.

Таблица 5 – Параметры трапеций

Трапеция 1				Трапеция2				и т.д.
ωd1 =; ωп1= ; χi= ; Ρ1=				ωd2=; ωп2= ; χ2= ; Ρ2=
τ1	h1(τ)	t= τ1/ωп1	h1(t)= h1(τ)* Ρ1	τ2	h2(τ)	t= τ2/ωп2	h2(t)= h2(τ)* Ρ2
0	0	0	0	0	0	0	0
0,5	0,176	0,5/ωп1	0,176* Ρ1	0,5	0,248	0,5/ωп2	0,248*Р2
…

д)Далее строят графики составляющих переходной характеристики h_i(t). Все составляющие располагают на одном чертеже (рисунок 11) с учетом знака, который определяется знаком высоты Р_i соответствующей трапеции.

ж) Получают график переходной характеристики замкнутой системы путем суммирования ординат всех составляющих в равные моменты времени . (36)

h(t) h2(t) h(t) t, с h1(t) h3(t) Рисунок 11 – Переходная характеристика и ее составляющие

Следует отметить, что погрешность построения переходного процесса тем больше, чем сложнее форма ВЧХ.