4.6 Синтез линейной автоматической системы регулирования по логарифмическим частотным характеристикам

Синтез АСР есть выбор ее структуры и параметров такими, чтобы удовлетворялись определенные заданные требования к качеству регулирования. При этом известен объект регулирования и его характеристики (математическое описание), а иногда выбраны основные функциональные элементы регулятора.

Если система не обеспечивает заданное качество регулирования, а тем более неустойчива, то необходимо ввести дополнительные специальные звенья, корректирующие переходный процесс, называемые корректирующими устройствами.

При синтезе корректирующего устройства АСР широко используют метод логарифмических характеристик. Свойства системы, как известно, полностью определяются частотными характеристиками. Если все элементы системы минимально-фазовые, то можно рассматривать только ЛАЧХ. Этот метод наиболее удобно применять при синтезе последовательного корректирующего устройства.

Сущность метода заключается в следующем. Сначала строят асимптотическую ЛАЧХ исходной системы L_И(ω). Затем на том же рисунке строят желаемую ЛАЧХ L_Ж(ω) разомкнутой системы.

Разность

L_Ж(ω) – L_И(ω) = L_КУ(ω) (28)

есть ЛАЧХ дополнительного элемента, который нужно ввести в систему, чтобы она имела необходимые свойства.

В курсовой работе заданными показателями качества являются максимально допустимые значения перерегулирования σ и времени регулирования t_P .

4.6.1 Асимптотическую ЛАЧХ L_И(ω) строят по передаточной функции исходной системы по методике, рассмотренной в п. 4.4.1.

4.6.2 Желаемую ЛАЧХ строят по методу В.В.Солодовникова на основании требований, предъявляемых к свойствам системы. Желаемую ЛАЧХ условно разделяют на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную. Кроме того могут быть дополнительные асимптоты, которые соединяют основные.

4.6.3 Низкочастотная часть определяет статическую точность системы - точность в установившемся режиме. Если не оговариваются требования к системе в установившемся режиме, то низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ L_Ж(ω) должна совпадать с низкочастотной асимптотой исходной системы L_И(ω).

4.6.4 Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Она должна иметь такой же наклон, что и высокочастотная часть L_И(ω), поэтому либо совпадает, либо параллельна ей.

4.6.5 Среднечастотная асимптота определяет устойчивость, запас устойчивости, быстродействие системы. Ее параметрами являются частота среза ω_с и наклон, выражаемый в децибелах на декаду и диапазон частот.

4.6.6 Построение среднечастотной асимптоты выполняют в следующем порядке:

• выбирают частоту среза ω′_с;

• отмечают ее на оси частот на том же рисунке, где изображена ЛАЧХ исходной системы (рисунок 9);

• через точку ω′_с ; проводят прямую линию с наклоном (– 20) дБ/дек;

• определяют запас устойчивости по модулю ΔL в децибелах;

• на оси ординат отмечают точки с координатами ± ΔL,

через которые проводят пунктиром горизонтальные прямые до пересечения их с линией – 20 дБ/дек;

• частоты, которым соответствуют точки пересечения прямых определяют нижнюю и верхнюю границы среднечастотного диапазона (на рисунке 9 это ω_а и ω_в

L (ω), дБ

-40дБ/дек L_И(ω)

L_Ж(ω)

ΔL -20дБ/дек ω₃

ω

- ΔL ω_e ω_аω₁ ω′_с ω₂ ω_в ω_d

-40дБ/дек

L_ку(ω)

-80дБ/дек

Рисунок 9 – Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства

Частоту среза ω′_с, запасы устойчивости по модулю ΔL и по фазе Δφ_min выбирают по заданным значениям максимального перерегулирования σ_max и времени регулирования t_р. в соответствии с таблицей 4.

В таблице приведны также максимальные значения вещественной частотной характеристики замкнутой системы Р_max, построенной по желаемой ЛАЧХ.

Таблица 4

σmax, %	20	25	30	35
ω′с , с-1	7,8/ tр	9,5/ tр	11,5/ tр	13,2
ΔL, дБ	25	20	16	12
Δφmin, град	65	50	45	38
Рmax	1,08	1,18	1,27	1,35

Для определения ω′_с , ΔL, Δφ и Р_max , можно воспользоваться номограммами, приведенными на рисунках 7.8, с.300 и 9.9, с.405 [1] или – 5.24, 5.25, с.272 [2].

4.6.7 Среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ сопрягают с низкочастотной и высокочастотной асимптотами так, чтобы в интервале частот, в котором

–ΔL ≤ L_Ж(ω) ≤ ΔL, (29)

удовлетворялось неравенство

Δφ≥Δφ_min, (30)

т.е. система должна иметь запас по фазе не менее чем Δφ_min.

Сопряжение осуществляют чаще всего асимптотами с наклоном

–40 дБ/дек при ν = 0 (статическая система) и ν =1 и с наклоном –60 дБ/дек при ν = 2.

4.6.8 Для полученной желаемой ЛАЧХ проверяют запас устойчивости по фазе, т.е. выполнение неравенств (29) и (30).

Для этого сначала получают выражение для фазовой частотной характеристики ФЧХ системы φ_ж ( ω) по виду желаемой ЛАЧХ.

Фиксируют частоты излома желаемой ЛАЧХ (ω_е , ω_а, ω_в, ω_d на рисунке 9). Если наклон на некоторой частоте ω_i , меняется на (–20 дБ/дек), то это указывает на то, что в структурной схеме скорректированной системы имеется инерционное звено с постоянной времени Т_i = 1/ ω_i , которое имеет фазовый сдвиг φ_i = - arctg Т_i ω. Изменение наклона на частоте ω_j на (+20 дБ/дек) соответствует наличию форсирующего звена с постоянной времени Т_j , следовательно, φ_j = arctg Т_j ω. Изменение наклона на (±40дБ/дек) соответствует двум форсирующим или двум инерционным звеньям с одинаковыми постоянными времени и фазовыми сдвигами φ_j,i= ±2arctgТ_j,iω соответственно. В астатических системах необходимо учесть фазовый сдвиг интегрирующего звена, который равен (– 90°).

Фазовый сдвиг скорректированной системы φ_ж(ω) определяется как сумма фазовых сдвигов всех звеньев с учетом знаков. Например, для системы, имеющей ЛАЧХ, подобную изображенной на рисунке 9,

φ_ж(ω)= – 2 arctg Т_eω+ arctg Т_а ω – arctg Т_в ω–2 arctg Т_d ω. (31)

Запас устойчивости Δφ_ж(ω ) = 180 + φ_ж(ω ) , φ_ж(ω)<0.

Проверяют запас устойчивости Δφ_ж(ω_а ) и Δφ_ж(ω_в ) на частотах ω_а и ω_в , граничных частотах среднечастотного диапазона. Если условие (30) выполняется, то система имеет требуемый запас по фазе, и выполненное сопряжение асимптот желаемой ЛАЧХ принимается. Если условие (30) выполняется только на частоте ω_а , а на частоте ω_в запас Δφ_ж(ω ) < Δφ_min, но больше нуля, то проверяют это условие на частоте среза ω′_с и при его выполнении решают вопрос о целесообразности изменения желаемой ЛАЧХ на основании проверки качества системы [2]. Если найденные запасы устойчивости меньше требуемых, то необходимо изменить форму ЛАЧХ, расширить среднечастотный участок и снова проверить запасы устойчивости по фазе.

4 .6.9 Составляют передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы на основании желаемой ЛАЧХ.

Звенья, которые входят в скорректированную систему, определяют, как и при составлении фазовой частотной характеристики (п.4.6.8), по изменению наклона ЛАЧХ.

Интегрирующему звену соответствует множитель р в знаменателе передаточной функции, каждому инерционному звену - множитель (Т_iр +1) в знаменателе передаточной функции, форсирующему звену - множитель (Т_jр +1) в числителе, двум инерционным звеньям (изменение наклона ЛАЧХ на –40 дБ/дек) – множитель (Т_iр +1)² в знаменателе, двум форсирующим (изменение наклона на +40 дБ/дек) - множитель (Т_jр +1)² в числителе.

Например, передаточная функция разомкнутой системы, имеющей ЛАЧХ, подобную изображенной на рисунке 9, имеет вид

K(Тар +1 ) W(р) = ———————————— . (Тер +1)2 (Твр +1)(Тdр +1)2

4.6.10 Строят ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства L_ку(ω) путем графического вычитания ЛАЧХ исходной системы L_и(ω) из желаемой ЛАЧХ L_ж(ω)

L_ку(ω)= L_ж(ω) – L_и(ω).

Вычитание ординат достаточно сделать на всех сопрягающих частотах этих характеристик. Затем полученные точки соединить прямыми (рисунок 9). Логарифмические частотные характеристики при синтезе последовательного корректирующего устройства приведены в Приложении Е.

По ЛАЧХ L_ку(ω) корректирующего устройства составляют его передаточную функцию таким же способом, как для разомкнутой системы.

Передаточная функция корректирующего устройства для примера, приведенного на рисунке 9, имеет вид

(Тa р +1 ) (Т1 р +1 ) (Т2 р +1 ) (Т3 р +1 )2 Wку(р) = ——————————————————— . (Тeр +1)2 (Твр +1)(Тdр +1)2

По передаточной функции выбирают схему пассивного четырехполюсника для ее реализации.