4.5 Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой системы не только по АФЧХ, но и по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

В общем виде передаточная функция разомкнутой системы

, (18)

где – общий коэффициент передачи системы; ν – порядок астатизма (равен числу интегрирующих звеньев), - постоянные времени форсирующих звеньев; - постоянные времени инерционных звеньев; - постоянные времени колебательных звеньев; ξ_k – коэффициенты демпфирования; l – число форсирующих звеньев; - число инерционных звеньев; n - число колебательных звеньев.

При подстановке в (18) передаточная функция преобразуется в частотную, являющуюся векторной величиной

, (19)

где - амплитудная частотная функция, модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы ;

- аргумент , , фазовая частотная функция.

Модули и аргументы частотных передаточных функций системы и звеньев связаны между собой соотношениями

; (20)

, (21)

где - модули частотных передаточных функций звеньев,

- аргументы частотных передаточных функций звеньев.

Логарифмическая амплитудная характеристика определяется по формуле

L(ω) = 20 lg А(ω). (22)

Из (20) видно, что

L(ω) = , (23)

где L_i(ω)=20lgA_i(ω).

4.5.1 Построение логарифмических частотных характеристик.

На основании (21) и (23) можно получить следующее правило построения ЛАЧХ и ЛФЧХ систем, передаточные функции которых преобразованы к виду (18): строят логарифмические характеристики звеньев, а затем их геометрически складывают.

Логарифмические частотные характеристики строят в полулогарифмическом масштабе. При постоении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту ω в логарифмическом масштабе, т.е. наносят отметки, соответствующие lg ω. При этом на отметке, соответствующей

lg ω, пишут само значение частоты ω, а не lg ω.

Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты ω в 10 раз, называется декадой. Декада – равномерная единица на оси абсцисс. В начале координат по оси абсцисс откладывается произвольная частота, а не частота, равная нулю, поскольку lg 0 = - ∞.

По оси ординат откладывают значения L(ω) в линейном масштабе с единицей измерения децибел (дБ).

Логарифмическая фазовая частотная характеристика имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ, а по оси ординат откладывают в равномерном масштабе фазу в угловых градусах или радианах.

Оси абсцисс ЛФЧХ и ЛАЧХ обычно совмещают, чтобы изменения фазы от частоты можно было сопоставить с изменениями амплитуды.

Для упрощения расчетов монотонная ЛАЧХ аппроксимируется ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков с типовыми наклонами: … +40, +20, 0, -20, -40 … дБ/декаду. Такие характеристики назывются асимптотическими.

Частоту , при котрой пересекаются отрезки прямых (асимптоты), называют сопрягающей.

Для построения асимптотических логарифмических амплитудных частотных характеристик можно рекомендовать следующий порядок:

а) Определяют передаточную функцию разомкнутой системы путем перемножения передаточных функций звеньев , входящих в замкнутый контур, в виде (18). При этом, если в структурной схеме САР имеется звено второго порядка с передаточной функцией

, (24)

необходимо определить значение ξ и Т_k по формулам

, . (25)

Звено будет колебательным, если 0 < ξ <1, и апериодическим второго порядка, если ξ 1. Для апериодическое звено второго порядка передаточную функцию (24) можно преобразовать к виду

(26)

где . (27)

Таким образом, апериодическое звено можно представить как последовательное соединение двух инерционных звеньев.

б) Определяют частоты сопряжения (частоты излома ЛАЧХ)

.

в) Размечают ось абсцисс (ω) на декады, например, со следующей сеткой частоты: ω = 10^-1, 10⁰, 10¹, 10² 1/с. Соответствующие логарифмы

lgω = -1, 0, 1, 2 Обычно бывает достаточно иметь 3-4 декады. Выбирают те декады, в зону которых попадают частоты сопряжения. При этом расстояние от минимальной частоты сопряжения до начала координат должно быть приблизительно равным длине декады.

г) Размечают ось ординат L(ω) вверх (10, 20, … 60) дБ и вниз от оси абсцисс (-10,-20,… -40) дБ для ЛАЧХ.

д) Размечают ось ординат для ЛФЧХ вниз от оси абсцисс в пределах 0…(-270˚); для последующего анализа устойчивости

проводят пунктирную линию с ординатой (-180˚).

е) Строят ЛАЧХ:

Проводят низкочастотную асимптоту влево от абсциссы

ω₁ = ω_мин =1/Т_макс :

для статической системы это будет прямая, параллельная оси абсцисс (с нулевым наклоном) с ординатой L= 20 lgК;

где К = - общий коэффициент передачи системы,

К_i – коэффициенты передачи звеньев;

для астатической системы первого порядка проводится линия с наклоном – 20 дБ/дек, проходящая через точку с координатами (20 lgК, ω=1).

Продолжают ЛАЧХ, начиная от частоты ω_1, в область высоких

частот. При этом ЛАЧХ претерпевает изменение наклона на (- 20) дБ/дек на частотах сопряжения, соответствующих инерционным, на (- 40) дБ/дек, - колебательным, на (+20) дБ/дек – реальным дифференцирующим (форсирующим ) звеньям.

Последняя асимптота ЛАЧХ, получаемая в результате построения, должна иметь наклон 20(–ν + l–r–2n) согласно (18).

Строить линию с типовым наклоном удобно по двум точкам –начальной с координатами (ω_1, L₁) и доплнительной – с координатами

(10ω₁ , L₁±20 дБ). При другом способе в первой декаде строят линии с типовыми наклонами, как показано на рисунке Е1 (Приложение Е), и используют их при построении асимтотической ЛАЧХ путем параллельного переноса.

При построении асимптотической ЛАЧХ наибольшая погрешность получается в районе сопрягающих частот. У инерционных звеньев она не превышает 3 дБ. При построении ЛАЧХ колебательного звена необходимо проверить условие ξ > 0,4.

Если оно выполняется, то можно строить асимптотическую ЛАЧХ, если нет, ЛАЧХ в области сопрягающей частоты уточняется (С.200 [1]).

Строят логарифмическую фазовую характеристику разомкнутой системы φ_Σ(ω) путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Значения углов φ вычисляют в диапазоне частот от минимальной частоты, соответствующей началу координат до частоты, при которой фазовый сдвиг превышает (–180^º), а ЛАЧХ выходит в высокочастотной части за предел (–20) дБ.

ЛФЧХ звеньев вычисляются по формулам:

• для усилительного звена 0;

• для идеального интегрирующего звена – π/2 на

всех частотах;

• для инерционного звена – arctg ωT;

• для форсирующего звена + arctg ωT;

• для колебательного – arctg при ω ≤ ,

– π – arctg при ω ≥ .

Таблица 3 – Расчет фазовой частотной характеристики

Частота, ω, с-1	Звено 1		Звено 2 …		Звено n		φΣ(ω)
	ωТ1	φ1(ω)	ωТ2	φ2(ω)	ωТn	φn (ω)

4.5.2 Делают вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии. Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю) (рисунок 8).

L (ω), дБ

0 ω_С ω

2 1 ΔL

Δφ

- 180

4 φ_Σ(ω)

3

φ,град

1-замкнутая система абсолютно устойчива, 2 - на границе устойчивости, 3 – неустойчивая, 4- условно устойчивая

Рисунок 8 – Логарифмические частотные характеристики

разомкнутой системы

4.5.3 Для устойчивых систем определяют запас устойчивости по модулю ΔL =|L(ω)| и по фазе Δφ (рисунок 8).

Запас устойчивости по модулю ΔL равен значению |L(ω)| на частоте, при которой φ_Σ(ω) = –180^°.

Запас устойчивости по фазе Δφ = 180 + φ_Σ(ω_с),

где ω_с – частота среза, т.е. частота на которой А(ω)=1, а L(ω)=0.

4.5.4 Ориентировочно оценивают время регулирования по формуле

< t_P < .