Лекция №6 Случайные погрешности. Оценка результата измерения.

Точечные оценки результатов измерений. Грубые погрешности и методы их исключения.

Оценка результата измерения

Для решения многих задач не требуется знания функции и плотности распределения вероятностей, а вполне достаточными характеристиками случайных погрешностей служат их простейшие числовые характеристики: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Числовые вероятностные характеристики погрешностей, представляющие собой неслучайные величины, теоретически определяются при конечном числе опытов. Практически число опытов всегда ограничено, поэтому реально пользуются числовыми характеристиками, которые принимают за искомые вероятностные характеристики и называют оценками характеристик. Определение оценок числовых характеристик может быть выполнено по значительно меньшему числу наблюдений N (порядка 10-20).

Оценки числовых характеристик законов распределения вероятности случайных величин, изображаемые на числовой оси точкой, называются точечными. В отличие от самих числовых характеристик оценки являются случайными и их значения зависят от объема выборки (экспериментальных данных). Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Задача нахождения точечных оценок – частный случай статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки.

Оценки должны удовлетворять трем условиям: быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Состоятельной называется оценка, которая сходится по вероятности к оцениваемой числовой характеристике. (Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины)

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

К эффективной относится та оценка из всех возможных несмещенных, которая имеет наименьшее рассеяние (дисперсию).

Точечной оценкой математического ожидания результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины

Точечная несмещенная оценка дисперсии определяется по формуле

Оценка СКО

Полученные оценки МО и СКО являются случайными величинами – при повторении нескольких серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные оценки. Рассеяние этих оценок проводится с помощью оценки СКО среднего арифметического значения

т. е. среднее квадратическое отклонение среднего арифметического в раз меньше СКО результата отдельного наблюдения.

Полученные оценки позволяют записать итог измерений в виде

или

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет меньшую погрешность, чем погрешность каждого определенного измерения. Это отражает и формула, определяющая фундаментальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.

Нужно четко разграничивать применение и : величина используется при оценке погрешностей окончательного результата, а — при оценке погрешности метода измерения.