4.3.2. Основні теореми диференціального числення

Теорема Ферма. Якщо диференційована функція у деякій точці С і інтервалу набуває свого найбільшого або найменшого значення, то в цій точці похідна дорівнює нулю:

Геометрично теорема Ферма означає, що в точках, де

функція набуває найбільшого та найменшого значень,

дотичні є горизонтальними.

РИС.23,

Теорема Ролля. Нехай задано функцію неперервну на відрізку і диференційовану на інтервалі Тоді, якщо то всередині відрізка знайдеться точка

така що

РИС.24

Геометрична інтерпретація теореми Ролля: якщо виконуються умови теореми Ролля, то знайдеться хоча б одна точка С, в якій дотична паралельна осі абсцис. У цій точці похідна й дорівнює нулю.

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію неперервну на відрізку і диференційовану на інтервалі Тоді знайдеться точка така що похідна функції в цій точці дорівнюватиме відношенню тобто .

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа: на інтервалі знайдеться хоча б одна точка , в якій дотична є паралельною хорді, що сполучає кінці дуги функції на відрізку .

РИС.25.

Теорема Коші (про кінцеві прирости двох функцій). Нехай на відрізку задано дві функції і . Якщо ці функції неперервні на відрізку і диференційовані на інтервалі причому то на інтервалі існує точка така що .

Геометрична інтерпретація теореми Коші

Нехай рівняння

є рівнянням кривої, де на функції РИС.26

і накладено умови теореми Коші. Теорема Коші стверджує існування точки , в якій дотична до кривої (4.1) паралельна хорді, що сполучає кінці цієї кривої.

4.3.3. Зростання та спадання функції, достатня умова

Функція називається зростаючою на інтервалі якщо більшому значенню аргументу з цього інтервалу відповідає більше значення функції, тобто якщо з нерівності випливає нерівність .

Функція називається спадною на інтервалі , якщо більшому значенню аргументу з цього інтервалу відповідає менше значення функції , тобто якщо з нерівності випливає нерівність .

Достатня умова зростання (спадання) функції

Якщо в кожній точці інтервалу

то функція зростає на цьому інтервалі.

Якщо в кожній точці інтервалу

то функція спадає на цьому інтервалі.

4.3.4. Екстремуми функцій, необхідна та достатня умови

Точка називається точкою локального максимуму функція якщо існує такий окіл точки , для всіх точок х якщо виконується нерівність .

Точка називається точкою локального мінімуму функції , якщо існує такий окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність .

Точки максимуму і точки мінімуму називаються точками екстремуму. Значення функції в точках максимуму та мінімуму називається екстремумами (максимом і мінімумом) функції.

Критичні точки-це внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.