Розділ 4. Диференціальне числення функцій

однієї змінної

4.1. Похідна функція

4.1.1. Поняття похідної

Нехай функція визначена на деякому проміжку Х. Візьмемо довільну точку і надамо аргументу довільний приріст такий, щоб точка .

Функція набуде при цьому приросту

- приріст аргументу.

- приріст функції.

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто

де - позначення похідної, запропоноване Ньютоном;

- позначення Лейбніца похідної функції

Операція шукання похідної називається диференціюванням.

Функція називається диференціюванню в точці , якщо існує похідна цієї функції в тій точці.

4.1.2. Геометричний та механічний зміст похідної

Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної , коли N наближається вздовж кривої до точки М.

РИС.20 РИС.21

Значення похідної в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці і дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної напряму осі ОХ.

де - кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції.

• рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою .

Фізичний зміст похідної

Якщо - залежність пройденого шляху від часу, то:

1) - швидкість прямолінійного руху;

2) - прискорення прямолінійного руху.

4.1.3. Похідні основних елементарних функцій

1) , с-стала	10)
2)	11)
3)	12)
4) 5)	13)
6) 7)	14)
8)	15)
9)	16)

4.1.4. Основні правила диференціювання функцій, заданих аналітично

Нехай С – сталі і та - диференційовані функції. Тоді:

1. Похідна алгебраїчної суми двох диференційованих функцій дорівнює відповідній алгебраїчній сумі похідних цих функцій:

2. Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює сумі добутків похідної першої функції на другу функцію і першої функції на похідну другої функції:

3. Сталий множник можна винести за знак похідної:

4. Похідна частки двох диференційованих функцій дорівнює дробу, знаменником якого є квадрат знаменника цього дробу, а чисельником – різниця між добутком похідної чисельника на знаменника і добутком чисельника на похідну знаменника:

5. Похідна складеної функції дорівнює добутку похідної функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за . Якщо , то

Приклад 4.1. Знайти похідну функції .

Розв’язання

Функція - складена: ;

, .

Відповідь