4. Площадь фигуры. Способы измерения площадей фигур. Равновеликие и равносоставленные фигуры

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и т. д. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

Это обыденное представление о площади, мы понятие площади будем рассматривать применительно к многоугольникам и ограниченным плоским фигурам.

Будем говорить, что фигура F составлена из фигур F₁ и F₂ или разбита на фигуры F₁ и F₂, если фигура F является объединением фигур F₁ и F₂ и у них нет общих внутренних точек.

Площадью фигуры называется положительная скалярная величина, определенная для каждой плоской фигуры так, что:

1. равные фигуры имеют равные площади;

2. если фигура состоит из нескольких частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Условимся площадь фигуры F обозначать S(F).

Площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина – на множестве отрезков, а площадь на множестве плоских фигур.

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Такой единицей площади является обычно квадрат со стороной е, площадь которого е². Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата е². Результатом измерения площади фигуры будет такое число х, что S (F) = х ∙ е². Число х называют численным значением площади при выбранной единице площади.

В геометрии доказано, что для многоугольников и ограниченных плоских фигур такое число всегда существует и оно единственно.

Свойства численных значений площади

1. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

F₁ = F₂ S (F₁) = S (F₂)

Фигуры называются равными, если при наложении совпадают.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

2. Если фигура F составлена из фигур F₁, F₂, …F_n, то численное значение площади фигуры F равно сумме численных значений площадей фигур F₁, F₂, …F_n (при одной и той же единице площади). Две фигуры, составленные из равных частей, называются равносоставленные.

3. При замене единицы площади численное значение площади увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

Выразим, например, 9 см² в квадратных дециметрах. Известно, что 1 см² = 0,01дм², и, следовательно, 9 см² = 9 ∙ 1 см² = 9 ∙ (0,01дм²) = (9 ∙ 0,01)дм² = = 0,09 дм².

4. Если фигура F₁ является частью фигуры F₂, то численное значение площади фигуры F₁ не больше численного значения площади фигуры F₂ .

F₁ F₂ S (F₁) ≤ S (F₂).

Для измерения площадей используют стандартные единицы площади: м², дм², см², мм². Соотношения между единицами площади:

10^-6 км² = 10^-4 га = 10^-2 а = 1м² = 10²дм² = 10⁴ см² = 10⁶ мм².

Способы измерения площадей