3. Теоретическая справка

В лабораторной работе исследования механизма передачи помехового сигнала между линиями передачи, формируемыми проводниками на печат­ной плате [1], проводятся для случая, представляющего наибольший практи­ческий интерес, который допускает использование квазистатического при­ближения. Это возможно, так как в поперечном к продольной оси печатных проводников направлении расстояния между полосковыми проводниками много меньше длины волны передаваемых по ним сигналов. Квазистатиче­ское приближение позволяет существенно упростить решаемую задачу, раз­деляя механизм передачи помехи на емкостной (по электрическим полям) и индуктивный (по магнитным полям). В этом приближении расчет паразитной связи между линиями передачи по магнитным полям (коэффициентов пере­дачи помеховых сигналов) сводится к определению величин собственных и взаимных индуктивностей в эквивалентной схеме для этих цепей. При про­тяженных проводниках эквивалентные схемы выражаются в терминах цепей с распределенными параметрами, то есть все сосредоточенные элементы эк­вивалентных схем, в том числе и индуктивности, заменяются на погонные.

3.1. Понятие индуктивности и методы ее расчета

Понятие индуктивной связи вводится в цепях с сосредоточенными па­раметрами, т.е. в зоне индукции, а значит, в пренебрежении запаздываю­щими потенциалами и соответственно одинаковыми мгновенными значения­ми тока во всех участках проводника, что требует определенного соотноше­ния размеров электрической цепи l и длины волны электромагнитных коле­баний , выраженного неравенством: .

Математическое (схемотехническое) описание индуктивной связи оп­ределено понятием взаимной индуктивности М. Взаимная индуктивность - коэффициент пропорциональности между потокосцеплением магнитного по­ля с замкнутым контуром (потоком вектора магнитной индукции, определяе­мой током в каком-то другом проводнике, через поверхность ограниченную замкнутым контуром) и током, определяющим эту магнитную индукцию. Понятие взаимной индуктивности является логическим продолжением поня­тия индуктивности L - коэффициента пропорциональности между током i в замкнутом контуре и потокосцеплением потока Ф вектора индукции маг­нитного поля , пронизывающим площадь S, ограниченную контуром с то­ком, причем

.

При этом говорят о потоке Ф, сцепленным с контуром тока i. Для одиночного контура тока = Ф.

Для линейных цепей индуктивность L не зависит от режима (тока) и является конструктивным параметром, определяемым геометрическим поло­жением контура с током относительно структуры поля магнитных силовых линий.

При неравномерно распределенной по сечению проводника плотности тока , понятие потокосцепления может быть введено относи­тельно каждой из парциальных трубок тока , ограниченной каждая в своем сечении (рис. 2.4). Тогда полное потокосцепление можно записать как сумму потокосцеплений каждого парциального тока :

.

Рис. 2.4. Пояснение понятия парциаль­ного и полного потокосцеп­ления контура с током I при неравномерной плотности то­ка в поперечном сечении проводника

Неравномерная плотность тока в сечении проводника зависит от его диаметра и определяется глубиной проникновения (например, для меди на частоте 50Гц глубина проникновения составляет 9 мм). Поэтому на сравни­тельно низких частотах ее можно не учитывать для практически любых сла­боточных цепей, использующих проводной монтаж. Но даже для тонких проводников печатного монтажа на частотах ~1МГц, где глубина проникно­вения в медь

,

распределение тока по поперечному сечению проводника резко неравно­мерно. На сверхвысоких частотах уже можно считать, что ток в проводнике распределен в тонком поверхностном слое, т.е. ток - поверхностный и равен

.

Для расчета индуктивности можно осуществить прямое интегрирова­ние, определяя поток Ф, связанный с трубкой тока di, формулой

.

Учитывая, что магнитный поток, сцепляющийся с каким-либо контур­ным током (током в контуре) может быть обусловлен как самим этим током, так и токами иных контуров, вводят понятия само- и взаимоиндукции, обо­значаемые соответственно L и M.

Расчет потока более рационально осуществлять, используя понятие векторного потенциала и теорему Стокса, по формуле

,

так как здесь интеграл по пространству S, на который опирается виток тока i (или di) заменяется на интегрирование по пространству тока (трубки тока).

Откуда, учитывая связь между векторным потенциалом и определя­ющим его током i, для индуктивности L получается выражение

(2.1)

Для двух тонких параллельных осей токов (рис. 2.5) индуктивность можно выразить в виде

,

где - вектор вдоль оси с током ; - вектор вдоль оси с то­ком .

Рис. 2.5. Система параллельных осей (нитей) с током

Аналогично для взаимной индуктивности первого и второго контуров можно получить выражение

(2.2)

В обоих случаях (и для L, и для М) в формулах (2.1) и (2.2) R - расстоя­ния между и (участками проводов контуров с током или участками на контурах с токами и ).

Из выражения (2.2) следует свойство взаимности индуктивно связан­ных контуров, то есть равенство .

Введенное понятие взаимной индуктивности , отвлекаясь от приро­ды понятия, а ориентируясь только на формальное выражение для , мож­но отнести к взаимной индуктивности М одного участка проводника с током с другим участком того же проводника с током. Это позволило [2] разрабо­тать достаточно простой и удобный метод расчета индуктивностей контуров, образованных проводниками различной формы. Этот метод базируется на ре­зультате решения рассматриваемой ниже вспомогательной задачи расчета взаимной индуктивности двух одинаковых прямолинейных нитей тока дли­ной l, показанных на рис. 2.6, для которых .

Рис. 2.6. Геометрия системы прямолинейных проводников вспомогательной задачи

Учитывая, что , так как и коллинеарны, то согласно формуле (2.2) получим:

. (2.3)

При , пренебрегая в выражении (2.3) членами с показателя­ми степени выше первой, получаем

. (2.4)

Используя полученное выражение (2.4) в качестве взаимной индуктив­ности системы двух бесконечно длинных и параллельных нитей токов в пре­делах поперечного сечения отрезка проводника длиной l с равномерной плотностью тока , где S - площадь поперечного сечения проводника, можно получить выражение для индуктивности L одиночного провода:

. (2.5)

Здесь учтено, что полное потокосцепление проводника с током можно выразить в виде суммы парциальных потоков отдельных трубок (нитей с то­ком), т. е. суммой потоков взаимоиндукций:

,

а при равномерной плотности тока, заменив , где dS - элемент площади S поперечного сечения проводника, получим

.

Учитывая, что от положения нитей в формуле (2.4) для М зависит только слагаемое, связанное с расстоянием d, получается вышеприведенное выражение. В нем последнее слагаемое в скобках равно

-

так называемый логарифм среднего геометрического расстояния g площа­ди S поперечного сечения провода от самого себя lg(g). Тогда с учетом введенного понятия

. 2.6)

Понятие средних геометрических расстояний g вводится как , где - расстояние от точки О (рис. 2.7) до центров эле­ментов dl.

Рис. 2.7. К пояснению понятия среднего геометрического расстояния

Тогда, учитывая, что , выразится в виде

.

Устремив (т. е. ), получим .

Аналогично вводятся следующие понятия:

1. среднее геометрическое расстояние от точки О до элемента площади dS:

, (2.7)

если точка наблюдения перемещается по площади S;

2. взаимное среднее геометрическое расстояние двух линий l₁ и l₂:

; (2.8)

3. взаимное среднее геометрическое расстояние площадей S₁ и S₂:

. (2.9)

Причем в выражениях (2.8) и (2.9) интегрирование производится один раз при неизменном положении dl₁ или dS₁ соответственно, и изменяющемся положении dl₂ или dS₂ , а другой раз - наоборот.

Заметим, что на практике для проводников в виде фигур произвольной формы получить выражения lng, возникающие в формулах для расчета са­моиндукции L (проводника) и взаимоиндукции М (между двумя проводника­ми), в явном виде непросто. Однако замечено следующее:

1. для фигур, взаимные средние геометрические расстояния g которых больше их линейных размеров (что соответствует случаям расстояний между центрами инерции этих фигур, что весьма актуально при расчете погонной индукции двух параллельных проводников, разделенных изолятором;

2. в ряде случаев, когда формулы для расчета индуктивностей (собственных и взаимных) содержат вместо средних геометрических средние арифме­тические или средние квадратические расстояния и при этом выполняется соотношение размеров между проводниками, указанное в предыдущем пунк­те, наблюдается примерное равенство всех трех величин.

Рассмотренная вспомогательная задача оказывается полезной, как прави­ло, при расчете индуктивностей проводников достаточно простой формы. Расчет индуктивностей проводников сложной формы иногда удается сущест­венно упростить, применяя различные искусственные методы и приемы [2], такие как: 1) метод участков; 2) теоремы о двух и трех частях; 3) метод нало­жения; 4) метод, основанный на теореме о четырех прямоугольниках; 5) энергетический метод в различных модификациях; 6) электростатическая аналогия. При сложных конфигурациях проводников применяются числен­ные методы расчета.