Преобразование квадратичных форм.

Пусть дана квадратичная форма f=x_b^TA_bx_b в базисе b. Найдём её представление в другом базисе e. Пусть матрица перехода от b к e есть U. Тогда x_b=Ux_e

f=x_b^TA_bx_b=(Ux_e)^TA_b(Ux_e)=x_e^TU^TA_bUx_e=x_e^TA_ex_e

Квадратичная форма, содержащая только квадраты аргументов с коэффициентами, называется канонической квадратичной формой, а её аргументы каноническими.

Каноническая квадратичная форма имеет матрицу диагонального вида.

Метод собственных значений.

Так как любая квадратичная форма f(x₁, x₂, …, x_n) имеет симметрическую матрицу, то её можно привести к диагональному виду ортогональным преобразованием координат. Для этого нужно найти собственные значения ₁, ₂, …, _n и собственные векторы симметрической матрицы квадратичной формы, определить ортонормированный базис. В этом базисе квадратичная форма будет канонической с коэффициентами равными собственным значениям f_k=₁y₁²+₂y₂²+…+_ny_n²

Метод Лагранжа.

Замену переменных при переходе к каноническому виду можно осуществлять путём последовательного выделения квадратов,

a₁x₁²+2a₁₂x₁x₂ =a₁(x₁²+2(a₁₂/a₁)x₁x₂+(a₁₂/a₁)²x₂²)-(a₁₂²/a₁)x₂²=

=a₁(x₁’)²-(a₁₂²/a₁)x₂²,

где x₁’=x₁+(a₁₂/a₁)x₂

Если в какой-то момент нет ни одного квадрата переменной, то выбираем любое слагаемое квадратичной формы, например 2a₁₂x₁x₂, и делаем замену

x₁=x₁’+x₂’, x₂=x₁’-x₂’.

Получим квадратичную форму, в которой есть квадраты:

2a₁₂x₁x₂=2a₁₂(x₁’+x₂’)(x₁’-x₂’)=2a₁₂(x₁’)²-2a₁₂(x₂’)²

Билет 1.

1. Способы задания булевых функций.

2. Построить предварённую форму для функции в исчислении предикатов.

Билет 2.

1. Тавтология в исчислении высказываний.

2. Найти полином Жегалкина для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 3.

1. Негатив в исчислении высказываний.

2. Завершить силлогизм и определить его модус.

Билет 4.

1. теорема о дедукции в исчислении высказываний.

2. Определить свойства данного бинарного отношения.

Билет 5.

1. Правила вывода в исчислении предикатов.

2. Доказать истинность суждения методом «от противного».

Билет 6.

1. Теория силлогизмов Аристотеля (общие идеи).

2. Построить дерево вывода данного слова в данной грамматике.

Билет 7.

1. Метод резолюций (общая идея).

2. Построить СКНФ и СДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 8.

1. стратегия очищения в методе резолюций.

2. Проверить истинность суждения в исчислении высказываний.

Билет 9.

1. Определение формальной грамматики. Вывод слова.

2. Минимизировать автомат по числу состояний.

Билет 10.

1. Алгоритм минимизации КС-грамматики.

2. Найти минимальную ДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 11.

1. Операции над формальными языками.

2. Выразить булеву функцию от двух аргументов через указанный базис.

Билет 12.

1. Понятие автомата, минимальный автомат (определение).

2. Для данного формального языка подобрать КС- грамматику.

Билет 13.

1. Вывод в исчислении высказываний.

2. Проверить совместность системы гипотез методом резолюций.

Билет 14.

1. Вывод в исчислении предикатов.

2. Представить автомат булевыми функциями в формульном виде.

Билет 15.

1. Исчисление предикатов с равенством.

2. Определить язык данной формальной грамматики.

Билет 16.

1. Представление автомата булевыми функциями.

2. Выразить данную функцию в исчислении высказываний через логическое следствие и отрицание.

Билет 17.

1. Способы задания булевых функций.

2. Построить предварённую форму для функции в исчислении предикатов.

Билет 18.

1. Тавтология в исчислении высказываний.

2. Найти полином Жегалкина для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 19.

1. Негатив в исчислении высказываний.

2. Завершить силлогизм и определить его модус.

Билет 20.

1. Теорема о дедукции в исчислении высказываний.

2. Определить свойства данного бинарного отношения.

Билет 21.

1. Правила вывода в исчислении предикатов.

2. Доказать истинность суждения методом «от противного».

Билет 22.

1. Теория силлогизмов Аристотеля (общие идеи).

2. Построить дерево вывода данного слова в данной грамматике.

Билет 23.

1. Метод резолюций (общая идея).

2. Построить СКНФ и СДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 24.

1. Стратегия очищения в методе резолюций.

2. Проверить истинность суждения в исчислении высказываний.

Билет 25.

1. Определение формальной грамматики. Вывод слова.

2. Минимизировать автомат по числу состояний.

Билет 26.

1. Алгоритм минимизации КС-грамматики.

2. Найти минимальную ДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 27.

1. Операции над формальными языками.

2. Выразить булеву функцию от двух аргументов через указанный базис.

Билет 28.

1. Понятие автомата, минимальный автомат (определение).

2. Для данного формального языка подобрать КС- грамматику.

Билет 29.

1. Вывод в исчислении высказываний.

2. Проверить совместность системы гипотез методом резолюций.

Билет 30.

1. Вывод в исчислении предикатов.

2. Представить автомат булевыми функциями в формульном виде.

Билет 31.

1. Исчисление предикатов с равенством.

2. Определить язык данной формальной грамматики.

Билет 32.

1. Представление автомата булевыми функциями.

2. Выразить данную функцию в исчислении высказываний через логическое следствие и отрицание.

Билет 33.

1. Способы задания булевых функций.

2. Построить предварённую форму для функции в исчислении предикатов.

Билет 34.

1. Тавтология в исчислении высказываний.

2. Найти полином Жегалкина для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 35.

1. Негатив в исчислении высказываний.

2. Завершить силлогизм и определить его модус.

Билет 36.

1. Теорема о дедукции в исчислении высказываний.

2. Определить свойства данного бинарного отношения.

Билет 37.

1. Правила вывода в исчислении предикатов.

2. Доказать истинность суждения методом «от противного».

Билет 38.

1. Теория силлогизмов Аристотеля (общие идеи).

2. Построить дерево вывода данного слова в данной грамматике.

Билет 39.

1. Метод резолюций (общая идея).

2. Построить СКНФ и СДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 40.

1. Стратегия очищения в методе резолюций.

2. Проверить истинность суждения в исчислении высказываний.

Билет 41.

1. Определение формальной грамматики. Вывод слова.

2. Минимизировать автомат по числу состояний.

Билет 42.

1) Алгоритм минимизации КС-грамматики.

2) Найти минимальную ДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 43.

1. Операции над формальными языками.

2. Выразить булеву функцию от двух аргументов через указанный базис.

Билет 44.

1. Понятие автомата, минимальный автомат (определение).

2. Для данного формального языка подобрать КС- грамматику.

Билет 45.

1. Вывод в исчислении высказываний.

2. Проверить совместность системы гипотез методом резолюций.

Билет 46.

1. Вывод в исчислении предикатов.

2. Представить автомат булевыми функциями в формульном виде.

Билет 47.

1. Исчисление предикатов с равенством.

2. Определить язык данной формальной грамматики.

Билет 48.

1. Представление автомата булевыми функциями.

2. Выразить данную функцию в исчислении высказываний через логическое следствие и отрицание.

Билет 49.

1. Способы задания булевых функций.

2. Построить предварённую форму для функции в исчислении предикатов.

Билет 50.

1. Тавтология в исчислении высказываний.

2. Найти полином Жегалкина для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 51.

1. Негатив в исчислении высказываний.

2. Завершить силлогизм и определить его модус.

Билет 52.

1. теорема о дедукции в исчислении высказываний.

2. Определить свойства данного бинарного отношения.

Билет 53.

1. Правила вывода в исчислении предикатов.

2. Доказать истинность суждения методом «от противного».

Билет 54.

1. Теория силлогизмов Аристотеля (общие идеи).

2. Построить дерево вывода данного слова в данной грамматике.

Билет 55.

1. Метод резолюций (общая идея).

2. Построить СКНФ и СДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 56.

1. стратегия очищения в методе резолюций.

2. Проверить истинность суждения в исчислении высказываний.

Билет 57.

1. Определение формальной грамматики. Вывод слова.

2. Минимизировать автомат по числу состояний.

Билет 58.

1. Алгоритм минимизации КС-грамматики.

2. Найти минимальную ДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 59.

1. Операции над формальными языками.

2. Выразить булеву функцию от двух аргументов через указанный базис.

Билет 60.

1. Понятие автомата, минимальный автомат (определение).

2. Для данного формального языка подобрать КС- грамматику.

Билет 61.

1. Вывод в исчислении высказываний.

2. Проверить совместность системы гипотез методом резолюций.

Билет 62.

1. Вывод в исчислении предикатов.

2. Представить автомат булевыми функциями в формульном виде.

Билет 63.

1. Исчисление предикатов с равенством.

2. Определить язык данной формальной грамматики.

Билет 64.

1. Представление автомата булевыми функциями.

2. Выразить данную функцию в исчислении высказываний через логическое следствие и отрицание.

Билет 65.

1. Способы задания булевых функций.

2. Построить предварённую форму для функции в исчислении предикатов.

Билет 66.

1. Тавтология в исчислении высказываний.

2. Найти полином Жегалкина для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 67.

1. Негатив в исчислении высказываний.

2. Завершить силлогизм и определить его модус.

Билет 68.

1. Теорема о дедукции в исчислении высказываний.

2. Определить свойства данного бинарного отношения.

Билет 69.

1. Правила вывода в исчислении предикатов.

2. Доказать истинность суждения методом «от противного».

Билет 70.

1. Теория силлогизмов Аристотеля (общие идеи).

2. Построить дерево вывода данного слова в данной грамматике.

Билет 71.

1. Метод резолюций (общая идея).

2. Построить СКНФ и СДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 72.

1. Стратегия очищения в методе резолюций.

2. Проверить истинность суждения в исчислении высказываний.

Билет 73.

1. Определение формальной грамматики. Вывод слова.

2. Минимизировать автомат по числу состояний.

Билет 74.

1. Алгоритм минимизации КС-грамматики.

2. Найти минимальную ДНФ для булевой функции от трёх аргументов.

Билет 75.

1. Операции над формальными языками.

2. Выразить булеву функцию от двух аргументов через указанный базис.

Билет 76.

1. Понятие автомата, минимальный автомат (определение).

2. Для данного формального языка подобрать КС- грамматику.

Билет 77.

1. Вывод в исчислении высказываний.

2. Проверить совместность системы гипотез методом резолюций.

Билет 78.

1. Вывод в исчислении предикатов.

2. Представить автомат булевыми функциями в формульном виде.

Билет 79.

1. Исчисление предикатов с равенством.

2. Определить язык данной формальной грамматики.

Билет 80.

1. Представление автомата булевыми функциями.

2. Выразить данную функцию в исчислении высказываний через логическое следствие и отрицание.

30