Правая и левая тройки векторов.
В трёхмермерном пространстве базисную тройку называют правой, если она соответствует рисунку
Правая рука ладонью вверх, большой палец направлен по первому вектору, четыре других пальца направлены по второму, а третий вектор направлен вверх, то есть по открытой руке.
Стандартный базис (i; j; k) представляет собой правую тройку.
В трёхмермерном пространстве базисную тройку называют левой, если она соответствует рисунку
Левая рука ладонью вверх, большой палец направлен по первому вектору, четыре других пальца направлены по второму, а третий вектор направлен вверх, то есть по открытой руке.
Пример:
Определим, какой является тройка векторов, правой или левой
а) (1; 2; 0), (-1; 0; 1), (3; 4; 5)
направим большой палец правой руки по первому вектору, четыре других пальца – по второму вектору, видим, что третий вектор будет «выходить» из ладони. Следовательно, это правая тройка.
б) (1; 2; 3), (-1; 0; 1), (-3; 4; 5)
попробуем опять проделать тоже с правой рукой. Третий вектор выходит с внешней стороны руки. Это левая тройка. Попробуем проделать всё с левой рукой. Теперь третий вектор выходит из ладони.
Лекция 3.
Матрицей 2*2
(квадратной матрицей второго порядка)
называется таблица вида
Определителем такой матрицы (определителем второго порядка) называется число, которое находится по формуле а22 - а12а21. |
.
Пример:
-матрица; (квадратная
матрица второго порядка.)
=1*4-2*3=4-6=-2
- её определитель.
Приняты обозначения определителя для матрицы А:
;
detA;
A
Матрицей 3*3
(квадратной матрицей третьего порядка)
называется таблица вида
Определителем такой матрицы (определителем третьего порядка) называется число, которое находится по формуле а11а22а33+а12а23а31+а13а21а32-а13а22а31-а12а21а33-а11а23а32 |
.
Пример:
=45+96+84-105-48-72=0
Векторное произведение – это алгебраическая операция в пространстве трёхмерных векторов.
Дадим её определение.
Векторным произведением двух векторов называется вектор с с=а b, удовлетворяющий следующим требованиям:
|
(площадь
параллелограмма, построенного на
векторах а и b.
Векторное произведение [а;b] есть момент силы b, приложенной к точке А относительно начала координат.
Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, натянутого на эти векторы.
Свойства векторного произведения.
1) [а; b]=[- b; а] - антикоммутативность
2) [а; b]=0, следовательно, а||b
3)
[(
а);
b]=
[а;
b]
4) [а;(b+с)]=[а; b]+[а; с] – дистрибутивность относительно сложения.
Утверждение
Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе, а=(ах, аy, az); b=(bx, by, bz), то
[а;
b]=
=i
- j
+ k
Без доказательства.
Пример:
а=(1, 2, 3), b=(4, 5, 6) [а; b]=(-3; 6; -3) (проверить).
[а;
b]
=
=
(12-15)i
–
(6-12)j+(5-8)k=-3i+6j-3k=(-3;
6; -3)