Оцінка невідомих параметрів моделі парної лінійної регресії методом найменших квадратів.
Для побудови моделі парної лінійної регресії необхідно оцінити невідомі параметри . Як було зазначено вище з цією метою в економетрії застосовується метод найменших квадратів. Суть даного методу полягає в тому, що невідомі параметри моделі парної лінійної регресії шукають так, щоб сума квадратів відхилень статистичних даних показника від його розрахункових значень була мінімальною, тобто .
Іншими словами, за методом найменших квадратів параметри моделі парної лінійної регресії шукають як точку мінімуму функції:
Знайдемо мінімум даної функції застосувавши необхідну і достатню умови існування мінімуму функції двох змінних.
Необхідною
умовою існування мінімуму функції
є
рівність нулю частинних похідних першого
порядку цієї функції по
.
Застосування передбачає:
знайти частинні похідні першого порядку функції по :
,
;
прирівняти до нуля і об'єднати в систему одержані похідні:
;
розв'язати систему і одержати екстремальну точку (точку підозрілу на мінімум: а саме
розкриємо дужки і одержимо,поділивши кожне з рівнянь на -2:
Дана система рівнянь має єдиний розв'язок, тобто:
- з першого рівняння системи можна знайти
(2)
- підставляючи формулу (2) у друге рівняння системи одержуємо
(3).
Таким
чином одержали єдину екстремальну
точку. Доведемо, що вона є точкою мінімуму
функції
.
Достатньою умовою існування точки
мінімуму функції двох змінних в
екстремальній точці є додатне значення
визначника
,
причому, якщо
,
то в точці
існує
мінімум.
Для
одержання визначника
знайдемо частинні похідні другого
порядку:
,
.Тоді,
.Оскільки
,
то точка
є точкою мінімуму функції
.
Звідси випливає, що оцінки параметрів
моделі (1) є такими оцінками, для яких
виконується умова
Таким чином, при побудові моделі парної
лінійної регресії за методом найменших
квадратів, достатньо застосувати формули
(2), (3).
Приклад 1.
Бюро економічного аналізу фабрики «Світоч» оцінює ефективність роботи відділу маркетингу з продажу цукерок. Для такої оцінки досліджується досвід праці у 5 географічних зонах. Протягом однакового періоду часу у цих зонах зафіксовано обсяги продажу цукерок (млн.. коробок) та витрати фірми на рекламу для просування товару на ринку (млн.. грн..). Припускається, що між цими показниками існує лінійна залежність .На основі умовної статистичної інформації визначити який з показників є залежною, а який залежною змінною та знайти параметри залежності методом найменших квадратів.
-
Зони
Обсяг продажу цукерок(млн. .коробок),
Витрати на рекламу
(млн.. грн.),
1
25
5
125
25
2
30
6
180
36
3
35
9
315
81
4
45
12
540
144
5
65
18
1170
324
200
50
2330
610
