Тождества
(правило
симметрии).
Следствия тождества
:
для
.
Это
тождество можно усилить
0<a<n
a>=n
если
—
более общий вид тождества выше.
(свёртка
Вандермонда).
—
m-ое гармоническое
число.Мультисекция ряда даёт тождество, выражающее сумму биномиальных коэффициентов с произвольным шагом s и смещением t
в
виде замкнутой суммы из s слагаемых:
Асимптотика и оценки
при
,
при
где
Алгоритмы вычисления
Биномиальные коэффициенты могут быть
вычислены с помощью формулы
,
если на каждом шаге хранить значения
при
.
Этот алгоритм особенно эффективен, если
нужно получить все значения
при
фиксированном
.
Алгоритм требует
памяти
(
при вычислении всей таблицы биномиальных
коэффициентов) и
времени
(в предположении, что каждое число
занимает единицу памяти и операции с
числами выполняются за единицу времени).
При фиксированном значении k
биномиальные коэффициенты могут быть
вычислены по рекуррентной формуле
с
начальным значением
.
Для вычисления значения
этот
метод требует
памяти
и
времени.