Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

polny.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

420.15 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Функция Мебиуса

Функция Мебиуса (n), где n – натуральное число, принимает следующие значения:

Функция Мебиуса позволяет записать функцию Эйлера в виде суммы:

Суммирование идет по всем делителям n (а не только по простым делителям).

Пример. Вычислим φ(100), используя функцию Мебиуса.

Все делители 100 – {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

(1) = 1,

(2) = (-1)¹= -1 (у двойки один простой делитель – 2)

(4) = 0 (4 делится на квадрат двойки)

(5) = (-1)¹= -1 (у 5 один простой делитель – 5)

(10) = (-1)²= 1 (у 10 два простых делителя – 2 и 5)

(20) = 0 (20 делится на квадрат двойки)

(25) = 0 (25 делится на квадрат пятерки)

(50) = 0 (50 делится и на 2², и на 5⁵)

(100) = 0 (100 делится и на 2², и на 5⁵)

Таким образом,

Свойство функции Мебиуса: .

Например, n=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

16 Теорема о числе способов выбора k-элементов, среди которых нет двух соседних, из n элементов, расположенных в ряд. Доказать с помощью получения рекуррентной формулы.

Число сочетаний с повторениями

Число r-сочетаний с повторениями из n-множества равно

– доказательство с помощью рекуррентной формулы.

Метод базируется на получении формулы, позволяющей вычислять значения искомой величины шаг за шагом, исходя из известных начальных значений и значений, вычисленных на предыдущих шагах.

Рекуррентная формула r-го порядка – формула вида

a_n= f(n, a_n-₁, a_n-₂, … , a_n-r).

Формула выражает при n>r каждый член последовательности {a_i} через предыдущие r членов. Построение рекуррентной формулы состоит из следующих шагов.

1. Выработка начальных условий исходя из каких-либо очевидных соотношений.

Обозначим через f(n,r). Очевидно, что

(1)

2. Логические рассуждения. Зафиксируем какой-либо элемент во множестве S. Тогда относительно любого r-сочетания с повторениями из n-множества S можно сказать, содержит ли оно данный зафиксированный элемент или нет.

Если содержит, то остальные (r-1) элемент можно выбрать f(n, r-1) способами.

Если не содержит (в выборке этого элемента нет), то r-сочетание составлено из элементов (n-1)-множества (множество S за исключением данного зафиксированного элемента). Число таких сочетаний f(n-1, r).

Т.к. эти случаи взаимоисключающие, то по правилу суммы

(2)

3. Проверка формулы на некоторых значениях и вывод общей закономерности.

1) Вычислим f(n,0). Из (2) следует

. (3)

Тогда f(n,0)=f(n,1)-f(n-1,1). Из (1) f(n,1)=n, f(n-1,1)=n-1.

Следовательно, f(n,0)=n-(n-1)=1= .

2) f(n,1) = f(n,0)+f(n-1,1) = 1+n-1 = n = = .

3) f(n,2) = f(n,1)+f(n-1,2) = n+f(n-1,1)+f(n-2,2) = n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) = … =

= n+(n-1)+…+2+1 = .

(сумма арифметической прогрессии)

4) f(n,3) = f(n,2)+f(n-1,3) = +f(n-1,2)+f(n-2,3) = + +f(n-2,2)+f(n-3,3) = … =

(сумма геометрической прогрессии)

5) f(n,4) =

На основе частных случаев можно предположить, что

4. Проверка начальных условий с помощью полученной формулы.

что согласуется с (1) #

19, 20) Число бинарных деревьев с n вершинами равно C(n), где C(n) – это n-ое число Каталана.

Количество бинарных деревьев из n вершин называется числом Каталана, которое обладает множеством интересных свойств. N-ое число Каталана считается по формуле (2n)! / (n+1)!n!, которая растёт экспоненциально. (В Википедии предложено несколько доказательств, что это форма числа Каталана.) Число бинарных деревьев данного размера 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

Подстановка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Это статья о подстановке как о синтаксической операции над термами. Возможно, вас интересует перестановка.

В математике и компьютерных науках подстановка — это операция синтаксической замены подтермов данного терма другими термами, согласно определённым правилам. Обычно речь идёт о подстановке терма вместо переменной.

Содержание

1 Определения и обозначения
2 Подстановка переменной в λ-исчислении
3 Подстановка переменной в программировании
4 См. также
5 Ссылки

Определения и обозначения

Для подстановки не существует универсальной, согласованной нотации, равно как и стандартного определения. Понятие подстановки варьируется не только в рамках разделов, но и на уровне отдельных публикаций. В целом, можно выделить контекстную подстановку и подстановку «вместо». В первом случае место в терме, где происходит замена, задаётся контекстом, то есть частью терма, «окружающим» это место. В частности, такое понятие подстановки используется в переписывании. Второй вариант более распространён. В этом случае подстановка обычно задаётся некоторой функцией из множества переменных в множество термов. Для обозначения действия подстановки, как правило, используют постфиксную нотацию. Например, означает результат действия подстановки на терм .

В подавляющем большинстве случаев требуется чтобы подстановка имела конечный носитель, то есть, чтобы множество было конечным. В таком случае её можно задать простым перечислением пар «переменная-значение». Поскольку каждую такую подстановку можно свести к последовательности подстановок, замещающих всего по одной переменной каждая, не ограничивая общности можно считать, что подстановка задаётся одной парой «переменная-значение», что обычно и делается.

Последнее определение подстановки является, видимо, самым типичным и часто используемым. Однако и для него не существует единой общепринятой нотации. Наиболее часто для обозначения подстановки a вместо x в t используется запись t[a/x], t[x:=a] или t[x←a].

Подстановка переменной в λ-исчислении

В λ-исчислении, подстановка определяется структурной индукцией. Для произвольных объектов , и произвольной переменной результат замещения произвольного свободного вхождения в считается подстановкой и определяется индукцией по построению :

(i) базис: : объект совпадает с переменной . Тогда ;

(ii) базис: : объект совпадает с константой . Тогда для произвольных атомарных ;

(iii) шаг: : объект неатомарный и имеет вид аппликации . Тогда ;

(iv) шаг: : объект неатомарный и является -абстракцией . Тогда [ ;

(v) шаг: : объект неатомарный и является -абстракцией , причем . Тогда:

для и или ;

для и и .

Подстановка переменной в программировании

Подстановка переменной (англ. substitution) в аппликативном программировании понимается следующим образом. Для вычисления значения функции f на аргументе v применяется запись f(v)}, где f определена конструкцией f(x) = e. Запись f(v) в этом случае означает, что в выражении e происходит замещение, или подстановка переменной x на v. Выполнение замещения происходит в соответствии с семантикой вычислений.
Подстановка переменной (англ. assignment) в программировании понимается как присваивание. Оператор присваивания является проявлением эффекта «бутылочного горлышка» фон Нейманна для традиционных языков программирования^[1]. От этого свободны аппликативные вычислительные системы.

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf

21 Производящие функции. Производящая функция (нумератор) и перечисляющая производящая функция для сочетаний без повторений.

Производящие функции: 1)Z-преобразования 2)генератриса 3)порождающая функция 4)производящая функция последовательности {a_r} на базисе {g_r} – функция f при разложении которой в ряд по функциям фиксированного базиса {g_r} образуется данная последовательность коэффициентов {a_r} …………*)

Данный ряд – формальный. Название формальный означает, что мы формулу *) трактуем как удобную запись нашей последовательности – в данном случае несущественно, для каких (действ и комплексных) значений он сходится. Роль t сводится к тому чтобы различать коэффициенты последовательности А0,А1,…Аr….поэтому в теории производящих функций никогда не вычисляют значения таого ряда для конкретного значения переменной t. Выполняются лишь только некоторые операции на таких рядах, а затем определяются только некоторые операции на таких рядах а затем определяются коэффициенты при отдельных степенях переменной t.

Обычно в качестве

22Производящая функция. Производящая функция (нумератор) и перечисляющая производящая функция для сочетаний с повторениями.

Производящая ф-я для :

Правило построения

1)Если эл-т типа i может входить в сочетания K₁или K₂или… K_iраз, то ему соотв множитель

2)F(t)=

3)Остается найти коэф. при

экспоненциальная производящая ф-я для размещений правило построения

Если a_i множитель входящий в размещения К1 или…или Кi раз, то ему соответствует множитель если надо найти число размещений , если надо найти сами размещения
E(t)=
Остается найти коэф при

25) К комбинаторным числам также относятся числа Стирлинга первого и второго рода. Эти числа определяются как коэффициенты в равенствах

и имеют простой комбинаторный смысл — равно числу элементов группы подстановок являющихся произведениями ровно k непересекающихся циклов, а равно числу разбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств. Очевидно, что . Аналогичная сумма чисел Стирлинга второго рода называется n-м числом Белла и равна числу всех разбиений n-элементного множества. Для чисел Белла справедлива рекуррентная формула .

При решении комбинаторных задач часто оказывается полезна формула включений—исключений

позволяющая находить мощность объединения множеств, если известны мощности их пересечений. Воспользуемся формулой включений—исключений для получения явной формулы для чисел Стирлинга второго рода.

Числа Стирлинга первого рода

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Числа Стирлинга первого рода (без знака) — количество перестановок порядка n с k циклами.

Определение

Числами Стирлинга первого рода (со знаком) s(n, k) называются коэффициенты многочлена:

где (x)_n — символ Похгаммера (убывающий факториал):

Как видно из определения, числа имеют чередующийся знак. Их абсолютные значения задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами.

Рекуррентное соотношение

Числа Стирлинга первого рода задаются рекуррентным соотношением:

s(n,n) = 1, для n ≥ 0,

s(n,0) = 0, для n > 0,

для 0 < k < n.

Доказательство.

Для n=1 это равенство проверяется непосредственно. Пусть перестановка (n-1)-го порядка распадается на k циклов. Число n можно добавить после любого числа в соответствующий цикл. Все полученные перестановки — различные и содержат k циклов, их количество (n-1)·s(n-1, k). Из любой перестановки (n-1)-го порядка, содержащей k-1 цикл, можно сформировать единственную перестановку n порядка, содержащую k циклов, добавив цикл образованный единственным числом n. Очевидно, что эта конструкция описывает все перестановки n-го порядка, содержащие k циклов. Тем самым равенство доказано.

Пример

Первые ряды:

n\k	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	0	1
2	0	−1	1
3	0	2	−3	1
4	0	−6	11	−6	1
5	0	24	−50	35	−10	1
6	0	−120	274	−225	85	−15	1

В комбинаторике числом Стирлинга второго рода из n по k, обозначаемым или , называется количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств.