11. Принцип включения и исключения. Теорема о сумме весов элементов, не обладающих ни одним из заданных свойств. Доказательство.

v(S_i)- вес элемента S;

_… – выборка свойств из Р1 …РN

V( _… ) – сумма весов элементов, обладающих всеми из заданных свойств.

сумма весов для всех выборок

(ps последняя формула не точно, общий материал взят из леций Гусева)

12. Принцип включения и исключения. Теорема о числе элементов, обладающих в точности r-свойствами из n–множества свойств. Доказательство.

Теорема:

Доказательство.

Пусть некоторый элемент _i имеет вес v(S_i) и удовлетворяет в точности t свойствам p_i1… p_it из R.

Возможно 3 случая

1. t< R вес этого элемента в подсчете не участвуют, вносится 0

2. t=R в правую часть вносит свой собственный вес

3. t> R вносит свой вес v(S_i):

Так как: )

Тогда выражение в скобках равно 0, так как оно является частным случаем разложением бинома Ньютона.

13. Задача о беспорядках. Теорема о числе беспорядков из элементов n–множества. Доказательство. Следствия.

Пусть имеется конечное упорядоченное множество элементов {1,…, n}. Из этих элементов могут быть образованы перестановки a₁,…, a_n (a_i{1,…,n}). Число всех возможных перестановок – n!. Среди этих n! перестановок есть такие, что ни один элемент не стоит на своём месте (a_ii, i= ). Иначе говоря, элемент номер 1 не стоит на 1-ом месте, элемент номер 2 не стоит на 2-м месте, и т.д., элемент номер n не стоит на n-м месте. Такие перестановки называются беспорядками.

Число беспорядков из n элементов обозначается D_n (ясно, что D_n<n!).

Теорема. Число беспорядков из n элементов равно:

.

Доказательство

Обозначим через свойство p_i – «i-й элемент стоит на i-м месте». Тогда по формуле решета .

Общее число перестановок n элементов – n! Число перестановок, где i-й элемент стоит на i-м месте, равно (n-1)! (ставим i-й элемент на i-е место, а оставшиеся n-1 элементы переставляем (n-1)! способами). При этом сам i-й элемент можно выбрать способами. Таким образом, число перестановок, где хотя бы по одному элементу стоит на своём месте, равно .

Число перестановок, где i-й элемент стоит на i-м месте, а j-й на j-м (ij), равно (n-2)!, при этом i-й и j-й элементы можно выбрать способами. Таким образом, число перестановок, где хотя бы два элемента стоят на своих местах – .

Аналогично, число перестановок, где на своих местах стоят хотя бы три элемента – . Число перестановок, где на своих местах стоят хотя бы r элементов – . Число перестановок, где все элементы стоят на своих местах . Подставляем в формулу решета:

Следствие 1.

Так как ,

то .

Следствие 2.

Так как , то .

15 Функция Эйлера

Функция Эйлера φ(n), где n – натуральное число, дает количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n. Иначе говоря, φ(n)=k, где 0<kn; (k,n)=1.

Теорема

, где p_i – все простые делители n. ( - произведение по всем простым делителям числа n).

# В теореме Лежандра заменим a_i на p_i, где p_i – простые делители n.

Тогда (так как p_i делят n нацело).

По теореме Лежандра

. #

Пример. Определим, сколько чисел, не превышающих 100, взаимно простые с 100. Разложим число 100 на простые сомножители: 100=2·2·5·5=2²5². Таким образом, у числа 100 два простых делителя – 2 и 5. По формуле Эйлера получаем

.

Таким образом, среди первой сотни есть 40 чисел, взаимно простых с 100.