1. Определение начального опорного решения (плана)

Перепишем систему (4) – (6) в виде:

х₅ = 16 – (1х₁ + 1х₂ + 1х₃ + 1х₄ );

х₆ = 100 – (4х₁ + 6х₂ + 10х₃ + 13х₄ ); (7)

х₇ = 110 – (6х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3х₄ ).

В системе (7) переменные, находящиеся в правой части (х₁ , х₂ , х₃ , х₄), назовем свободными и приравняем нулю. Тогда переменные, стоящие слева (в данном случае дополнительные переменные х₅ , х₆ , х₇), называются базисными и принимают значения, равные свободному члену (запасу ресурсов).

Таким образом, начальное опорное решение: х₁ = х₂ = х₃ = х₄ = 0,

х₅ = 16, х₆ = 100, х₇ = 110, или Х₀ = (0, 0, 0, 0, 16, 100, 110).

При этом целевая функция F₀, очевидно, равна нулю.

Полученное решение поместим в симплексную таблицу (табл. 2).

Самый первый столбец таблицы (c_i) включает коэффициенты целевой функции при базисных переменных (х_i), которые находятся во втором столбце (Базис). Значения этих переменных (b_i) составляют содержание третьего столбца (В), называемого «итоговый». Далее следуют столбцы коэффициентов при всех переменных из ограничений задачи (х_j). Верхняя строка включает коэффициенты при переменных из целевой функции, нижняя – целевая – так называемые «оценки» всех переменных (∆_j). Столбцы α, β – вспомогательные, их назначение будет показано далее.

Таблица 2.

Ci	Базис	B		60		70		120		130		0		0		0	α		β
				х1		х2		х3		х4		х5		х6		х7
0	X5	16		1		1		1		1		1		0		0
0	X6	100		4		6		10		13		0		1		0
0	X7	110		6		5		4		3		0		0		1
∆j= zj - cj			0

2. Проверка полученного опорного решения на оптимальность

Для проверки решения на оптимальность заполняем целевую строку таблицы 2 следующим образом:

∆_j= z_j - c_j ,

и результат запишем в табл. 3.

∆₁ = z₁ – c₁ = (0 ∙ 1 + 0 ∙ 4 + 0 ∙ 6) – 60 = - 60 ;

∆₂ = z₂ – c₂ = (0 ∙ 1 + 0 ∙ 6 + 0 ∙ 5) – 70 = - 70 ;

∆₃ = z₃ – c₃ = (0 ∙ 1 + 0 ∙ 10 + 0 ∙ 4) – 120 = - 120 ;

∆₄ = z₄ – c₄ = (0 ∙ 1 + 0 ∙ 13 + 0 ∙ 3) – 130 = - 130 ;

∆₅ = z₅ – c₅ = (0 ∙ 1 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0) – 0 = 0 ;

∆₆ = z₆ – c₆ = (0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 0 ∙ 0) – 0 = 0 ;

∆₇ = z₇ – c₇ = (0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1) – 0 = 0 .

Таблица 3.

			60	70		120		130		0		0		0		α		β
Cj	Базис	B	А1	А2		А3		А4		А5		А6		А7
0	X5	16	1	1		1		1		1		0		0
0	X6	100	4	6		10		13		0		1		0
0	X7	110	6	5		4		3		0		0		1
∆j=zj - cj		0	-60		-70		-120		-130		0		0		0

Все базисные переменные имеют оценки, равные нулю. Знаки оценок свободных переменных позволяют определить, оптимально ли текущее опорное решение.

Условие оптимальности: опорное решение ЗЛП на максимум (минимум) целевой функции является оптимальным тогда и только тогда, когда все ∆_j неотрицательны (неположительны).

Элементы целевой строки табл. 3 не соответствую условию оптимальности, так как среди них имеются отрицательные величины. Это свидетельствует о возможности увеличения целевой функции, следовательно, опорное решение, не является оптимальным.

То обстоятельство, что базисными сейчас являются дополнительные переменные, означает, что никакая продукция не производится и все имеющиеся ресурсы не используются.