3. Симплекс-метод

Графический метод позволяет наглядно представить процедуру поиска оптимального решения задачи линейного программирования, но, в силу ограниченности размерности задачи, играет лишь иллюстративную роль.

Симплексный метод – универсальный метод, позволяющий найти решение любой задачи линейного программирования, если, разумеется, задача разрешима. Этот метод осуществляет направленный перебор вершин допустимого множества (опорных планов ЗЛП), то есть позволяет из начальной вершины за кратчайшее число шагов перейти в точку оптимума.

Применяют симплекс-метод к задаче канонического (стандартного) вида, в которой все ограничения – равенства с неотрицательной правой частью и на все переменные накладывается условие неотрицательности.

Для перехода от ограничений задачи, представленных в виде неравенств, к ограничениям-равенствам в левую часть неравенства вводятся неотрицательные дополнительные переменные с коэффициентами (+1), если неравенство имеет вид « ≤ », и с коэффициентами (-1) в случае неравенства вида « ≥ ». В целевую функцию дополнительные переменные входят с коэффициентом 0.

Пример

Предприятие может выпускать четыре вида продукции: П1, П2, П3, П4, используя три вида лимитирующих ресурсов. Объемы ресурсов, нормы их расхода на единицу продукции и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице 1.

Таблица 1

Наименование ресурсов	Нормы расхода ресурсов на единицу продукции вида				Объем ресурса
	П1	П2	П3	П4
Трудовые, чел.- ч	1	1	1	1		16
Станочное оборудование, станко-ч	4	6	10	13		100
Полуфабрикаты, кг	6	5	4	3		110
Прибыль, грн. / шт	60	70	120	130
Выпуск, шт.	х1	х2	х3	х4

Требуется определить, сколько продукции различных видов следует производить, чтобы план был оптимальным по критерию прибыли, т.е. таким, при котором получаемая прибыль была бы максимальной (считаем, что рынок сбыта не ограничен).

Математическая модель задачи оптимизации включает целевую функцию, ограничения и граничные условия.

Целевая функция показывает, в каком смысле план должен быть оптимальным, т.е. какая характеристика должна быть максимизирована или минимизирована. В рассматриваемом примере целевая функция, выражающая требование максимизации прибыли, имеет вид:

F = 60х₁ + 70х₂ + 120х₃ + 130х₄ → max.

Ограничения определяют зависимость между величинами требуемых и имеющихся ресурсов и могут быть записаны так:

1х₁ + 1х₂ + 1х₃ + 1х₄ ≤ 16;

4х₁ + 6х₂ + 10х₃ + 13х₄ ≤ 100;

6х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3х₄ ≤ 110.

В левых частях ограничений – неравенств указаны требуемые ресурсы, а в правых – имеющиеся.

Граничные условия показывают, в каких пределах могут находиться искомые величины. Поскольку никаких требований относительно количества производимых продуктов в примере не выдвигается, то граничные условия представляют собой требования неотрицательности переменных, т.е.

x_j ≥ 0 (j = 1,2,3,4).

Итак, математическая модель задачи представляется следующим образом:

F = 60х₁ + 70х₂ + 120х₃ + 130х₄ → max (1)

1х₁ + 1х₂ + 1х₃ + 1х₄ ≤ 16;

4х₁ + 6х₂ + 10х₃ + 13х₄ ≤ 100; (2)

6х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3х₄ ≤ 110.

x_j ≥ 0 (j = 1,2,3,4). (3)

Модель (1) – (3) записана в симметричном виде. Для приведения ее к канонической (стандартной) форме в левую часть каждого из неравенств (2) введем дополнительную переменную. Получим:

F = 60х₁ + 70х₂ + 120х₃ + 130х₄ + 0(х₅ + х₆ + х₇)→ max (4)

1х₁ + 1х₂ + 1х₃ + 1х₄ + х₅ = 16;

4х₁ + 6х₂ + 10х₃ + 13х₄ + х₆ = 100; (5)

6х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3х₄ + х₇ = 110.

x_j ≥ 0 (6)

Очевидно, дополнительные переменные х₅ , х₆ , х₇ , которые равны разности между правой и левой частями ограничений, представляют собой возможный резерв соответствующего ресурса.

Решаем задачу симплекс-методом