Графический метод и свойства решений
задачи линейного программирования
Несмотря на ограниченность применения, графический метод решения ЗЛП оказывается очень полезным для иллюстрации общих идей, лежащих в основе методов, используемых для решения задач линейного программирования.
применение графического метода предполагает использование нескольких этапов. Рассмотрим применение этого метода для решения задачи (3) – (5) об оптимальном использовании ресурсов:
F = 2х1 + 3х2 max
1х1 + 3х2 18;
2х1 + 1х2 16;
1х2 5;
3х1 21.
х1 0, х2 0.
На первом этапе в системе координат Х10Х2 строится область допустимых решений задачи (ОДР). Для этого каждое неравенство заменяется равенством и строятся соответствующие этим равенствам граничные прямые, каждая из которых делит плоскость на две полуплоскости (рис. 1).
Х2
16
12
8
4
(3)
0
Х1
4 8 12 16 20 (1)
(4) (2)
Рис. 1.
Для точек, принадлежащих граничной прямой, ограничение выполняется как равенство, тогда как для точек, лежащих в одной из полуплоскостей соответствующее ограничение выполняется как неравенство.
Чтобы графически определить, по какую сторону от граничной прямой располагается полуплоскость, содержащая решение данного рассматриваемому неравенства, достаточно подставить в левую часть неравенства точку с координатами (0;0), т.е. начало координат. Если неравенство удовлетворяется, то начало координат принадлежит полуплоскости, в противном случае решением являются точки полуплоскости, не содержащей начало координат.
Пересечение всех полуплоскостей, определяемых условиями задачи (включая и условия неотрицательности) является областью допустимых решений.
Так, первое неравенство рассматриваем как равенство
1х1 + 3х2 = 18,
и строим прямую, проходящую через точки, координаты которых можно определить следующим образом:
положим х1 = 0, тогда х2 = 6;
х2 = 0, тогда х1 = 18,
следовательно, граничная прямая (1), представленная на рис. 1, проходит через точки с координатами (0, 6) и (18, 0).
Чтобы определить, в какой полуплоскости находятся решения, удовлетворяющие первому неравенству, подставим точку с координатами (0, 0) в левую часть и убедимся, что эта точка ему удовлетворяет. Следовательно, все решения первого неравенства находятся в той же полуплоскости, что и начало координат.
Аналогично находим полуплоскость, содержащую решения второго, третьего и четвертого неравенств (см. рис.1).
Пересечение всех таких полуплоскостей дает область допустимых решений. Для рассматриваемой задачи ОДР выделена жирными линиями (рис.1).
На втором этапе формируется графическое изображение целевой функции.
Уравнение 2х1 + 3х2 = L при фиксированном значении L определяет прямую, а при изменении L – семейство параллельных прямых с параметром L. Так, на рис. 2 показаны прямые, соответствующие уравнению
2х1 + 3х2 = L при L = 6, 12 …
Х2
16
12
8
4
М (3)
0 Х1
4 8 12 16 20 (1)
(4) (2)
Рис. 2.
Для всех точек, лежащих на одной из этих прямых, функция F принимает одно определенное значение, равное соответствующему значению L. Поэтому рассматриваемые прямые называются линиями уровня для параметра L. Важное свойство линий уровня состоит в том, что при их смещении в одном направлении уровень (значение L) только возрастает, а при смещении в другом – только убывает.
Вектор C, перпендикулярный всем этим прямым (вектор-градиент целевой функции), показывает направление возрастания параметра L. Координаты вектора-градиента для линейной целевой функции равны коэффициентам при х1 и х2, т.е. (2, 3). Из начала координат строим вектор C с координатами (2, 3), который показывает, в каком направлении целевая функция возрастает.
Затем, перемещаясь по линиям уровня в направлении градиента (если ищем максимум функции) или в противоположном градиенту направлении (если ищем минимум функции), определяем точку в области допустимых решений, которая доставляет оптимум целевой функции.
В рассматриваемой задаче – это точка М. При дальнейшем перемещении по линиям уровня выходим за пределы ОДР.
точка М находится на пересечении прямых (1) и (2). Таким образом, искомое оптимальное решение задачи, которое графически соответствует координатам точки М, можно найти путем совместного решения системы двух уравнений:
1х1
+ 3х2
= 18;
2х1 + 1х2 = 16;
Решение системы:
-2х1 - 6х2 = -36;
2х1 + 1х2 = 16
-5х2 = -20, т.е. х2 = 4.
Тогда х1 = 18 – 3х2 = 18 – 12 = 6.
Итак, оптимальное решение: х1 = 6, х2 = 4. Fmax = 2х1 + 3х2 = 24. То есть для получения максимального объема выручки в размере 24 грн. следует производить продукции П1 и П2 в количестве соответственно 6 и 4 ед. При этом первый и второй ресурсы будут полностью израсходованы, а третий и четвертый – недоиспользованы: Р3: 1х2 5; 4 < 5, остаток ресурса составляет 1 ед;
Р4: 3х1 21; 18 < 21 остаток ресурса составляет 3 ед.