Задачи для самостоятельной работы

I. Для решения следующих задач используйте принципы умножения и сложения

1. Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?

2. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из 3 латинских букв, причем эти буквы могут повторяться? Если позывные состоят из 4 букв, которые не повторяются?

3. В автомашине 7 мест. Сколькими способами 7 человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только 3 из них?

4. В классе 30 одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить на них шестерых школьников?

5. У нас есть 3 письма, каждое из которых мы можем послать по 6 различным адресам. Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если никакие 2 письма нельзя посылать по одному адресу? Сколькими способами можно разослать письма, если по одному адресу разрешается посылать более одного письма?

6. Сколько существует пятизначных чисел? Сколько среди них таких, которые начинаются цифрой 2 и оканчиваются цифрой 4? Которые не содержат цифры 5? Которые делятся на 5?

7. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 7, 8, если никакую цифру не использовать более одного раза? Сколько среди этих чисел будет четных? Сколько нечетных?

8. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

9. 5 мальчиков и 5 девочек рассаживаются в ряд на 10 подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на нечетные места, а девочки на четные. Сколькими способами они могут это сделать?

10. Сколькими способами 3 различных подарка A, В и С можно выдать каким-то трем из 15 лиц, если никто не должен получить более одного подарка? Если подарок A должно получить вполне определенное лицо?

11. Энциклопедия состоит из 9 томов — с 1-го по 9-й. Сколькими способами ее можно поставить на полке в беспорядке, т. е. так, чтобы тома не следовали один за другим в порядке их номеров?

12. Сколькими различными способами из восьми книг можно отобрать несколько, но не менее одной?

13. Сколько сигналов можно поднять на мачте, имея 4 флага различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух флагов?

14. В забеге участвуют 5 мальчиков. Сколькими способами могут распределиться два первых места?

II. Для решения следующих задач используйте формулы для перестановок и размещений

1. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять: (а) из 8 букв, (б) из 7 букв, (в) из 3 букв?

2. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?

3. Доказать, что число трехбуквенных слов, которые можно образовать из букв, составляющих слово «гипотенуза», равно числу всех возможных перестановок букв, составляющих слово «призма».

4. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из 5 цифр, если первая из них не равна нулю? Если номер состоит из одной буквы, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?

5. Три дороги соединяют города А и В, четыре дороги соединяют В и С. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В и вернуться в А также через В?

6. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если: (а) 2 определенные книги должны всегда стоять рядом, б) эти 2 книги не должны стоять рядом?

7. Сколько 5-буквенных слов можно образовать, используя для этого 10 различных букв, если: (а) никакую букву нельзя использовать в одном слове более одного раза, (б) повторения букв разрешены. Сколько в последнем случае встретится слов, в которых на самом деле есть повторения?

8. Сколько различных трехбуквенных слов можно образовать, используя буквы, составляющие вашу фамилию, причем эти слова должны начинаться и оканчиваться согласными, а в середине должна стоять гласная буква?