Рациональные дроби

Обширный класс функций, первообразную для которых можно получить в конечном виде, составляют рациональные дроби , представляющие частное двух полиномов.

Если степень числителя меньше степени знаменателя , то дробь называется правильной.

Если степень числителя больше или равна степени знаменателя , то дробь называется неправильной.

Пример 18.

- правильная дробь,

и - неправильные дроби.

Как и числовую дробь, рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной дроби: .

Известно, что любой многочлен степени во множестве С имеет ровно корней и его можно представить во множестве R в виде: где - кратности действительных корней, квадратичные множители не имеют действительных корней .

Доказано, что каждую правильную дробь ( )можно представить как сумму простых дробей. В этой сумме каждому множителю знаменателя вида соответствует сумма дробей , а каждому множителю вида - сумма дробей .

Пример 19.

Разложить на дроби функцию .

Дробь правильная, имеем .

Приводим к общему знаменателю правую часть равенства: .

Так как знаменатели у дробей равны, то равны и числители дробей. Тогда . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях .

.

Решив систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов , получим . Итак наша правильная дробь разложится на сумму двух простых дробей: .

Из предыдущего видно, что интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию следующих дробей:

.

Первые две дроби интегрируются непосредственно. Интегрирование дробей третьего типа рассмотрено в предыдущем разделе. Дроби четвертого типа интегрируются с помощью рекуррентных формул.

Пример 20.

Вычислить .

Согласно предыдущему (Примеру 19) получим:

= .

При разложении рациональных дробей следует придерживаться следующего плана:

1. Убедиться, что дробь правильная. Если она неправильная, то выделить целую часть.

2. Разложить знаменатель дроби на множители.

3. Разложить дробь на простые дроби.

4. Проинтегрировать простые дроби.

Пример 21.

Вычислить .

Подынтегральная дробь неправильная (4>3). Выделяя целую часть, делением числителя на знаменатель получим

.

Далее разложим знаменатель на множители .

Поэтому правильная дробь будет представлена в виде суммы двух простых дробей

.

Находим коэффициенты .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях .

.

Решив систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов , получим .

Окончательно

.

Задачи для самостоятельного решения

Учебное издание

Шатрова Людмила Николаевна

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Учебно-методическое пособие

для студентов-бакалавров

направлений 080500.62 – Бизнес-информатика и