Свойства неопределенного интеграла

1. , где k – постоянная.

2. 

3. Если , то , где - любая дифференцируемая функция. Это свойство называется инвариантностью формул интегрирования.

Таблица неопределенных интегралов

1. 

2. 

3. где

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Основное содержание различных методов нахождения интегралов состоит в сведении искомого интеграла к табличному или к сумме табличных. При этом используются свойства неопределенного интеграла и приемы интегрирования.

Непосредственное интегрирование

1. Метод разложения подынтегральной функции на слагаемые.

В основе его лежит формула . Способы разложения подынтегральной функции могут быть различными.

Пример 1.

Найти

Вынося постоянный множитель за знак интеграла, приходим к табличному интегралу при :

Пример 2.

Найти .

Пример 3.

Вычислить .

Пример 4.

Вычислить .

Пример 5.

Вычислить .

Преобразуем подынтегральную функцию

тогда данный интеграл перепишется в виде

Многие интегралы от сложных тригонометрических функций легко вычисляются методом разложения, умножая подынтегральную функцию на тригонометрическую единицу .

Пример 6.

Найти .

Метод подстановки

Если и , то или . Идея этой формулы заключается в том, что в если в интеграле удается выделить «блок» , то обозначая , можно вычислять равносильный интеграл .

Такое преобразование на практике выполняется различными путями.

Пример 7.

Найти

Обозначим , тогда . Дифференцируя равенство , найдем . Значит , следовательно

Вернувшись к старой переменной, получим окончательно:

Пример 8.

Вычислить

Способ 1. Подынтегральную функцию преобразуем так:

; , тогда выражение . Обозначим , в результате получим

Способ 2. Предыдущее решение можно оформить иначе.

Обозначим , тогда , ,

и .

Способ 3. Возможен и третий путь решения:

за новую переменную примем сам корень , тогда , , .

.

Второй и третий способы выполняются проще, чем первый.

Пример 9.

Найти .

Положим . Тогда .

По определению дифференциала получаем:

, откуда . Учитывая выражение для t, исключая x из подынтегрального выражения искомого интеграла:

.

В приведенном случае говорят, что произведено преобразование функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала.

Пример 10.

Найти интеграл .

В этом случае под знак дифференциала необходимо внести переменную x, умножив ее на константу -6. Для того, чтобы равенство сохранилось, перед интегралом необходимо поставить множитель . Итак: .

Пример 11.

Вычислить .

Вынесем в знаменателе дроби x, имеем: . Зная из правил дифференцирования, что , получим:

.

Интегрирование по частям

Сущность этого метода заключается в преобразовании интеграла по формуле .

Пример 12.

Найти интеграл .

Примем за , а за . Для использования приведенного соотношения необходимо вычислить и . Подставим и получим: .

В сложных случаях искусство применения этой формулы заключается в удачном разложении подынтегрального выражения на два компонента и .

Пример 13.

Найти .

Если вычислять его, приняв , то получим . Интеграл усложнился. Этот же результат получим, приняв : , но приняв , а , получим:

.

Вычисления рекомендуется проводить, не выписывая отдельно и , так как это усложняет вычисления, а действовать по приведенной схеме обозначений , , , .

Пример 14.

Вычислить .

Положим , .

Тогда ,

Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:

.

Найдем первый интеграл. Положим . Тогда , а . Таким образом интеграл .

Применяя формулу для синуса двойного угла и осуществляя возврат к исходной переменной, окончательно получаем:

.

Второй из полученных интегралов – табличный. Окончательно получаем .

Пример 15.

Найти .

Положим , .

Тогда ,

Итак, наш интеграл равен .

К полученному интегралу снова применим формулу интегрирования по частям. Теперь положим , . Выражение функции не изменится, а . Продолжим наши вычисления интеграла:

.

Пришли к первоначальному интегралу. Обозначим его . Теперь наши вычисления могут быть выражены алгебраическим уравнением относительно :

.

Разрешая уравнение относительно неизвестной величины ,получим искомый ответ:

.

Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

1. Рассмотрим интеграл вида .

Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции:

.

Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Вынося постоянные множители за знак интегралов, получим: .

Разберем вычисление каждого из них в отдельности.

В первом интеграле сделаем замену переменного .

Следовательно,

.

Рассмотрим теперь второй интеграл. Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов: , где . Величина может быть как положительной, так и отрицательной. Таким образом, второй интеграл примет вид .

В случае положительного значения второй интеграл будет равен .

В случае отрицательного значения второй интеграл будет равен .

В конце концов, для исходного интеграла получаем окончательно выражение или .

Пример 16.

Найти .

Производим преобразование подынтегральной функции:

.

2. Рассмотрим интеграл вида .

Этот интеграл вычисляется подобными преобразованиями, что и интеграл в пункте 1

.

Первый из полученных интегралов преобразуется той же подстановкой к виду .

Второй тоже подобными преобразованиями, что проводились для второго интеграла пункта 1принимает один из видов при положительном

.

Величина может быть как положительной, так и отрицательной.

И тогда его величина будет равна .

Для отрицательного и всегда положительного интеграл будет иметь вид:

и далее

.

Окончательно для исходного интеграла получаем выражение или .

Пример 17.

Найти .

.