Глава III. Основные положения квантовой механики

§ 3.1. Основные сведения из теории операторов.

Из опытов по дифракции и интерференции электронов, а особенно по интерференции одиночных электронов (опыт Юнга), следует, что даже один электрон способен создать интерференционную картину, то есть интерферирует сам с собой. Таким образом, электрон может в одно и то же время находиться в двух различных точках пространства. Очевидно, что понятие траектории для микрочастицы не определено; можно лишь говорить о вероятности нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства. Одна из основных задач квантовой механики состоит в определении вероятности получения того или иного значения динамических переменных, характеризующих частицу или квантовую систему. Причём в квантовой физике не только координаты и скорости, но и другие физические величины не могут иметь определённые значения. Поэтому говорят лишь о вероятности системы иметь то или иное значение величины её характеризующей: энергии, импульса, координаты и т. д. В связи с эти в квантовой физике физическая величина характеризуется её не численным значением, а оператором, который эта физическая величина представляет.

Оператором называют правило, по которому любой функции из некоторого пространства сопоставляется другая функция из этого же пространства, то есть . Операторы, используемые в квантовой механике, всегда линейные. Оператор называется линейным, если для произвольных функций и , и произвольных постоянных и выполнено равенство: .

Операторы называют суммой, разностью и произведением операторов и соответственно, если справедливы равенства:

,

,

.

При этом произведение операторов в общем случае не коммутативно. Это значит, что . Если же , то такие операторы называются коммутирующими. Если , то такие операторы называются антикоммутирующими. Запись называется коммутатором операторов и . Запись называется антикоммутатором операторов и . Если результатом действия оператора на функцию является функция , умноженная на некоторое число , то это число называют собственным значением оператора , а функцию – собственной функцией оператора, соответствующей этому собственному значению: . Причём, собственные функции в квантовой механике должны удовлетворять свойствам конечности, непрерывности, однозначности и гладкости. Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Спектр оператора может быть как дискретным, так и непрерывным. Причём, возможны случаи, часть спектра дискретна, а часть непрерывна. Возможны также случаи, когда одному собственному значению соответствует несколько собственных функций. Такое собственное значение называют вырожденным.

Помимо линейности, на квантово-механические операторы накладывается требование самосопряжённости. Оператор называется самосопряжённым или эрмитовым, если для произвольных функций и справедливо равенство: ¹. Это требование обусловлено тем, что собственными значениями самосопряжённых операторов являются действительные числа. Собственные значения, как-либо описывающие физическую величину, измеряются в эксперименте. Вообще говоря, физическую величину можно измерить, если её оператор эрмитовый.

Теорема 1. Собственные функции линейного эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, то есть , если и .

Запишем по определению собственного значения: и (1). Из условия самосопряжённости мы можем записать: . Теперь, подставляя сюда формулы (1), получим: . Так как и – константы, то мы можем вынести их за знак интеграла. Перенося интеграл в левую часть, получим: , . По условию , поэтому, . Так как собственная функция определяется лишь с точностью до произвольного множителя, то этот множитель можно выбрать так, чтобы функции были ортонормированными: , где – символ Кронекера.