Глава IV. Простейшие случаи движения микрочастиц.

§ 4.1. Свободное движение частиц.

Рассмотрим свободное движение частицы, то есть такое движение, при котором на частицу не действуют внешние силы. Исходя из определения, ясно, что потенциальная энергия частицы равна нулю, так как потенциальная энергия есть энергия взаимодействия, а при его отсутствии она, очевидно, равна нулю. Тогда в операторе Гамильтона останется лишь слагаемое, описывающее её кинетическую энергию. В классической механике кинетическая энергия системы или частицы описывается следующим выражением: . В квантовой же механике эту величину описывает оператор Гамильтона. Для одномерного случая: (1). Уравнение частицы описывается уравнением Шредингера: . Подставляя в него (1), получим: или . В большинстве случаев движущейся частице можно поставить в соответствие волну де Бройля, поэтому мы можем выбрать волновую функцию, описывающую плоскую волну: , где . Таким образом, . Подставим этот вид волновой функции в уравнение Шредингера: . Дифференцируя, вынося из-под знака дифференциала константы, и сокращая одинаковые множители, получим: . В итоге, получим: . Приведём полученное дифференциальное уравнение к стандартному виду: . Итак, мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, независящее от времени. Оно называется стационарным уравнением Шредингера. Решая его, получим: (2). Мы можем так записать, так как и, следовательно, . Первое слагаемое в выражении (2) описывает движение частицы в направлении оси , а второе – против направления этой координатной оси. Итак, в общем случае: . Таким образом, общее уравнение Шредингера имеет однозначное и непрерывное решение, которое существует для любых значений , что означает, что энергия свободно движущейся частицы может принимать любые значения, то есть энергетический спектр непрерывен. Более того, энергия частицы и её импульс являются величинами одновременно измеримыми, то есть .

Доказательство. Так как по определению , то вычислим входящие в эту формулу слагаемые по очереди.

1. . Воздействуем этим оператором на некоторую функцию : . Таким образом, .

2. . Аналогично предыдущему пункту: . Итак, .

Находя теперь сумму слагаемых, полученных в пунктах 1 и 2, получим: , что и требовалось доказать.

Так как спектр собственных значений энергии непрерывен, то нормировка волновой функции оператора энергии на единицу невозможна. Действительно: . Поэтому пользуются условием нормировки на длину периодичности. Этот способ состоит в следующем. Пусть само по себе движение частицы неограничено, но нас интересует движение частицы на участке . В этом случае мы можем рассматривать не всё бесконечное пространство, а участок длиной . Пусть вне этого участка значения волновой функции повторяются, то есть волновая функция периодична с периодом . Условие периодичности мы можем записать в виде: . Так как движение ограничено, то спектр энергии может быть дискретен. Найдём все возможные значения энергии: . Условие периодичности нам даёт следующее выражение: . Очевидно, что данное равенство возможно, если . Распишем эту экспоненту: . Отсюда , . Таким образом, импульс принимает какие-то строго определённые значения, значит, и энергия тоже принимает определённые дискретные значения: . . Величина называется шагом дискретизации энергии. Найдём расстояние между энергетическими уровнями: . Из последней формулы видно, что расстояния между энергетическими уровнями обратно пропорциональны . Таким образом, чем конкретнее и меньше , тем разрежённей энергетические уровни. При спектр, очевидно, становится непрерывным. Обобщая предыдущие рассуждения, можно сказать: чем точнее локализовано положение частицы. Тем ярче выражена дискретность её спектра.

Воспользуемся для дискретного спектра условием ортонормированности волновой функции: . Подставляя в него конкретные функции, получим: . Таким образом, чтобы выполнялось условие нормировки, необходимо положить . Тогда система ортонормированных функций будет выглядеть так: , где . Если перейти к волновому вектору , то получим: так как , то . И в выражении для волновой функции имеем: . Таким образом, мы нашли возможные значения энергии и волновой функции в случае ограниченного движения частицы по длине периода.