§ 3.4. Соотношение неопределённостей произвольных физических величин. Принцип дополнительности.

Соотношение неопределённостей аналогичное соотношению неопределённостей Гейзенберга можно получить для произвольной физической величины. Рассмотрим две произвольные физические величины, описываемые операторами и , коммутатор которых равен: . Введём величину , которая есть отклонение оператора от его среднего значения: и, соответственно, . Аналогично Гейзенбергу рассмотрим интеграл вида: . Так как под интегралом стоит квадрат модуля, то он должен быть положительно определённым оператором функции . Если операторы описывают физическую величину, то они должны быть линейными и эрмитовыми. Используя условие самосопряжённости операторов и , и определение среднего, мы получим: . Вспоминая условие эрмитовости, мы можем записать: ; . Полученное соотношение, после выполнения условия положительной определённости интеграла даст нам соотношение неопределённостей для произвольных физических величин, описываемых операторами и .

Для описания квантовой системы невозможно пользоваться всеми теми величинами. Которые используются в классической физике, то есть часть из этих величин всегда не будет определена достаточно точно. Это утверждение носит название принципа дополнительности.

§ 3.5. Понятие представления в квантовой механике.

Как уже было ранее сказано, мы можем разложить любую функцию по полному ортогональному набору других функций (например, в ряд Фурье), то есть: , причём набор коэффициентов разложения полностью определяет функцию . Мы доказали, что собственные функции линейного эрмитового оператора образуют полный ортонормированный базис, то есть любую функцию можно разложить по собственным функциям этого оператора. Разложение функции по полной системе собственных функций оператора является переводом её функционального представления в так называемое – представление. В квантовой механике говорят: «Переведём функцию в – представление». Не только функции, но и операторы могут быть записаны в различных представлениях.

Пусть функция есть результат действия оператора на функцию : (1). Запишем разложение функций и по собственным функциям оператора , то есть переведём их в – представление: .

; , где – собственные функции оператора . Подставляя два последних равенства в (1), получим: . Умножим на последнее выражение: , ; . Так как численный множитель, то мы можем поменять его местами с функцией : . Проинтегрируем теперь обе части по всей области изменения , то есть по объёму: . Так как операции интегрирования и суммирования коммутативны, то мы можем изменить порядок действий в последней формуле: (2). Введём некоторые обозначения: . Величину называют матричным элементом оператора . Матричный элемент оператора связывает функции и в – представлении. Найдём матричные элементы оператора в его собственном представлении, , где – символ Кронекера. Таким образом, матричные элементы оператора в его собственном представлении образуют диагональную матрицу. Вернёмся к равенству (2). После суммирования по получим слева некоторую функцию , которая не зависит от . Тогда мы можем записать: . Полученное соотношение отражает связь между коэффициентами – представления функций и .

В квантовой механике используются различные виды представлений. Чаще всего используется координатное или – представление. В нём все функции раскладываются по собственным функциям оператора координат – оператора . Реже используется – представление, где функции раскладываются по собственным функциям оператора импульса. Существует также – представление. В этом случае все функции раскладываются по собственным функциям оператора Гамильтона.