§ 3.3. Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Из постулатов квантовой механики следует, что при измерении некоторой физической величины получается определённое значение лишь в том случае, когда волновая функция, описывающая систему, является собственной функцией оператора измеряемой величины. В общем случае различные операторы имеют различные собственные функции, то есть описываемые ими физические величины не могут одновременно иметь точно определённые значения, но в некоторых случаях это возможно. Необходимым и достаточным условием того, чтобы две физические величины имели одновременно определённые значения, является коммутативность операторов, описывающих эти величины. Докажем это утверждение.

Необходимость. Пусть операторы и имеют общую собственную функцию, а значит описываемые ими физические величины, одновременно имеют определённые значения , . Умножим эти выражения на и соответственно: , . Отнимем из первого второе выражение: . Так как по условию функция не нулевая, то , то есть операторы и коммутирующие.

Достаточность. Пусть – собственная функция оператора : . Если операторы и коммутирующие, то , то есть функция является собственной функцией оператора , отвечающая собственному значению . Но такой функцией является функция . Следовательно, функция совпадает с точностью до произвольного постоянного множителя с функцией . Этим множителем может быть : . Отсюда функция является собственной функцией оператора , соответствующая собственному значению , а значит, операторы и имеют общую собственную функцию , и поэтому соответствующие им динамические переменные являются одновременно измеримыми с какой угодно степенью точности.

Проверим, являются ли одновременно измеримыми проекция импульса на координату и сама эта координата: и . Найдём их коммутатор: . Подействуем этим оператором на функцию : . То есть оператор коммутатора не равен нулю. Значит операторы и не коммутирующие. Значит, координата и проекция импульса не могут одновременно иметь определённые значения.

Соотношение между дисперсией координаты и импульсом частицы было установлено Гейзенбергом (1927 г.) и получило в последствии название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Найдём его. По определению дисперсии мы можем записать¹ . Аналогично для импульса: . Выберем такую систему координат, в которой и . В этой системе координат дисперсия координаты и импульса будет выглядеть так: и . Для нахождения связи между неопределённостью координаты и неопределённостью импульса, Гейзенберг предложил рассмотреть интеграл вида: . Раскроем теперь скобки и приведём подобные члены. Причём, запишем полученное выражение как многочлен относительно степеней : . Так как подынтегральное выражение являлось квадратом модуля, то интегральная функция будет положительно определена: (1). Запишем теперь выражения для коэффициентов многочлена (1): (см. определение дисперсии); . Беря полученный интеграл по частям, запишем: . Первое слагаемое здесь равно нулю², а второе 1 в силу условия нормировки. . Запишем теперь условие положительной определённости (1): дискриминант (1) должен быть меньше либо равен нулю: , , . Подставляя в последнее выражение значения , получим: ; . Возвращаясь к определению дисперсии в выбранной нами системе координат, мы можем записать: . Или, извлекая корень, . Данное соотношение носит название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Оно показывает, что импульс и координаты частицы не могут быть одновременно определены (измерены) со сколь угодно большой точностью, хотя любая из этих величин по отдельности измерима с любой точностью. До измерения частица не имела определённых значений динамических переменных. Определённые значения динамические переменные квантовой системы принимают только в процессе измерения. Под процессом измерения в квантовой физике понимается процесс взаимодействия с любым классическим объектом (прибором). Наличие же наблюдателя вовсе не обязательно. Таким образом, измерения объективны.