Свойства вероятностей событий
Из аксиом вероятностей
1)
2) ,
3) , если . и при для любых ,
можно вывести несколько свойств вероятностей, иногда называемых теоремами:
4)
,
т.е вероятность невозможного события
равна нулю.
Доказательство.
,
следовательно, события
несовместны, тогда , учитывая, что
,
в соответствии с аксиомой 3) получим
.
Следовательно,
,
а значит вероятность невозможного
события равна нулю:
.
5) Теорема о вероятности противоположного события
Доказательство.
,
т.е. события
и
несовместны. Тогда, учитывая, что
,
в соответствии с аксиомой 3) получим
,
отсюда
.
6). Теорема о вероятности разности событий
Доказательство.
,
следовательно,
и
–
несовместные события. Тогда, учитывая,
что
,
в соответствии с аксиомой 3) получим
.
7).
.
Доказательство.
и
– события. Следовательно,
– событие. В соответствии с аксиомой
1)
.
Тогда из свойства 6) следует
.
Отсюда
.
8)
. Для любого события
справедливо неравенство
.
Доказательство.
.
Тогда в соответствии со свойством 7)
.
Учитывая, что
,
,
получим
.
9. Теорема о вероятности суммы совместных событий ( теорема сложения вероятностей).
Пусть
.
Тогда
(1)
Эту формулу можно записать иначе
В частности, утверждение теоремы сложения вероятностей имеет следующий вид
для двух событий
;
для трех событий
.
Доказательство формулы (1) проводится методом математической индукции.
База
индукции: пусть
.
Докажем, что
.
События
и
несовместны. Действительно,
Тогда
Отсюда
(2)
Далее
делается индукционное предположение,
что формула (1) верна для произвольных
событий
.
Обозначив
,
получим
.
Подставляя
сюда известные выражения
и
получим формулу (1).
Лекция 3. Условная вероятность. Независимые и зависимые события. Теорема о вероятности произведения событий.
Пусть
и
– события, которые могут наступить в
результате стохастического эксперимента.
Осуществим этот эксперимент n
раз. Пусть
– число опытов, в которых появилось
событие
,
– число опытов, в которых появилось
событие
,
– число опытов, в которых появились
события
и
одновременно. Условной частотой события
при условии, что событие
произошло, называется частота события
,
вычисленная не по всем испытаниям, а
только по совокупности тех испытаний,
в которых событие
произошло, т.е.
.
Пусть
задано вероятностное пространство
,
события
,
и
.
Тогда условная вероятность события при условии, что событие произошло, равна
,
(1)
где .
Аналогично определяется условная вероятность события при условии, что событие произошло
,
(2)
где
.
Из формул (1) и (2) следует формулировка
теоремы о вероятности произведения событий (теоремы умножения вероятностей)
Эту формулу можно обобщить на случай произведения событий.
Пусть
случайные события, для которых
.
Учитывая, что
,
из условия
получим
,
,
…,
,
.
Следовательно, определены условные
вероятности
,
,…,
.
Тогда
(3)
Эта формула доказывается методом математической индукции.
База индукции: при
.
(4)
Предположим, что формула (3) справедлива для событий, т.е.
(5)
Обозначая
,
получим на основании (4)
(6)
Подставляя в (6) выражение для и учитывая (5), получим (3).
Например, для трех событий формула (3) имеет вид
События и называются независимыми, если наступление события не изменяет вероятности события , т.е.
.
Отсюда
следует, что
С
другой стороны,
.
Следовательно,
,
т.е. свойство независимости событий
является взаимным.
Понятие независимости событий нельзя смешивать с понятием несовместности событий. Если и - независимые события с положительными вероятностями, то они совместны.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей событий
События
называются независимыми в совокупности,
если для любых
из них (
)
выполняется соотношение
,
(7)
В частности
.
Если
соотношение (7) выполняется для
,
то события называются попарно независимыми.
Попарная независимость нескольких событий ещё не означает их независимость в совокупности.