Вероятностное пространство эксперимента с несчетным числом исходов
Для стохастических экспериментов с конечным и счетным числом исходов вводятся дискретные вероятностные пространства. Однако существует большое число стохастических экспериментов с несчетным числом исходов.
Например,
1)попадание в круг при стрельбе , множество
исходов–точки круга (несчетное
множество); 2)
бросание точки на отрезок
,
исходом является координата брошенной
точки. Тогда множество исходов эксперимента
несчётно.
В этих случаях нельзя построить
вероятностную модель эксперимента,
приписав вероятности отдельным
элементарным событиям. Действительно,
если по аналогии с дискретным случаем
задать для каждого исхода
вероятность
,
то сумма вероятностей по всем исходам
,
если число исходов несчетно, будет равна
,
а, следовательно, не будет выполняться
аксиома нормировки
.
В
этой ситуации вероятности приписывают
не отдельным исходам, а множествам
исходов, которые образуют события.
Пусть
имеется пространство элементарных
событий
эксперимента. Для этого пространства
построим
алгебру
его подмножеств, которая как
алгебра
обладает свойствами 1)
,
2)
;
3)
.
Множества, входящие в алгебру называются событиями, а не входящие в нее, событиями не являются.
Вероятность события определим как числовую функцию , заданную на -алгебре подмножеств пространства элементарных событий и удовлетворяющую аксиомам вероятностей:
1) (неотрицательности).
2) , (нормированности) .
3) Если события и попарно несовместны, т.е. при для любых , то
-– свойство счетной аддитивности
Тройка называется вероятностным пространством или вероятностной моделью эксперимента.
Такая аксиоматика теории вероятностей была сформулирована А.Н. Колмогоровым в 1933 году. Она является универсальной, т.е. может быть использована для эксперимента с любым числом исходов.
Геометрическая вероятность
Простейшим примером вероятностной модели эксперимента с несчётным числом исходов служит так называемая геометрическая вероятность.
Рассмотрим
эксперимент, имеющий несчётное множество
исходов и состоящий в том, что в пределы
области
бросается точка
,
причем попадание точки
в любую точку области
равновозможно. Тогда естественно
считать, что вероятность
попадания точки
в область
пропорциональна мере области
:
,
где
– мера области
,
– мера всего множества
.
Под мерой в данном случае подразумевается длина – для линии, площадь – для плоской области, объем – для трехмерной области. Геометрическая вероятность является обобщением классической вероятности на случай несчетного числа исходов.
Пример.
Два
студента условились встретиться в
определенном месте в течение
часа, договорившись только о том, что
каждый является туда в любой момент
времени между 13 ч. и 14ч. и ждет в течение
20
минут, а затем уходит. . Найти вероятность
того, что встреча состоится.
Решение
Событие
т.е. встреча, характеризуется двумя
параметрами:
– момент прихода одного студента и
– момент прихода другого студента.
Пространство элементарных событий
– квадрат со стороной
.
Событие
изобразим точкой с координатами
на плоскости
.
Оно произойдет, если разность между
и
по абсолютной величине не превзойдет
часа. Область, "благоприятная"
этому событию,
,
на рис. заштрихована. Ее площадь равна
площади всего квадрата без суммы площадей
двух угловых треугольников, не
заштрихованных на рис. Площадь всего
квадрата:
,.
Встреча
состоится с вероятностью
