Эмпирическое (статистическое) определение вероятностей элементарных событий.

Пусть стохастический эксперимент повторяется n раз в одних и тех же . условиях. Пусть - число опытов, в которых произошло событие . Отношение – частота появления события в проведенной серии экспериментов. Эта частота обладает следующими свойствами

1) ;

2) ;

3) если и два несовместных события, то .

Частота появления события различна для разных серий экспериментов, однако при больших n она почти постоянна. Если при больших n частота мало отличается от некоторого фиксированного значения , то говорят, что событие стохастически устойчиво, а число называют вероятностью элементарного события. Частота при сходится по вероятности к , если для любого выполняется равенство .

Пример. Эксперимент – бросание монеты. Элементарное событие - выпадение герба при одном бросании.

Классическое определение вероятности

Пусть стохастический эксперимент имеет конечное число n равновозможных исходов . Тогда естественно приписать каждому из них вероятность ( ). Элементарные исходы называют благоприятными для исходами. Пусть число таких исходов равно . Тогда вероятность события в таком пространстве равна ,

т.е. вероятность события равна отношению числа исходов , благоприятствующих появлению события , к полному числу n исходов эксперимента. Это определение вероятности было предложено Лапласом в начале 19 века.

Пример 1

В урне 5 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают два шара. Найти вероятности событий:

шары разного цвета;

оба шара – белые;

шары одного цвета.

Решение

Задача решается по формуле классической вероятности, с равной вероятностью может быть вынута любая пара шаров.

(количество способов выбрать два шара из восьми имеющихся).

(количество способов вынуть один белый и один черный шар; вычисляется по правилу произведения).

(количество способов вынуть два белых шара

(количество способов вынуть или два чёрных, или два черных шара, вычисляется по правилу суммы).

; ; .

Вероятностное пространство стохастического эксперимента со счетным числом исходов

Если множество элементарных исходов эксперимента счётно, то это множество исходов является пространством элементарных событий , , а любое его подмножество называется событиием. Из всех подмножеств множества строится – алгебра , на которой определяются операции суммы, произведения, разности и перехода к противоположному событию. Система всех подмножеств множества обладает следующими свойствами:

1)) , т.е. достоверное событие входит в .

2) замкнуто относительно счетного числа операций сложения и умножения событий, т.е.

если , то

3) .

Отсюда следует, что

4) , так как ;

5)

6)

7)

Каждому элементарному событию (исходу эксперимента) аксиоматически приписывают число , называемое вероятностью этого исхода, т.е. на задается числовая функция , которая должна удовлетворять условиям:

1. для любого – аксиома неотрицательности;

2. (или ) .– аксиома нормированности.

			…		…
			…		…

где ;

Вероятность произвольного события определяется равенством

Функция определена на – алгебре и обладает свойствами, которые иногда называются аксиомами теории вероятностей

1) (свойство неотрицательности).

2) , ( свойство нормированности)

3) Если события и попарно несовместны, т.е. при для любых , то -– свойство счетной аддитивности.

Следовательно, вероятность – неотрицательная, нормированная , счетно-аддитивная числовая функция, заданная на множестве .

Тройка определяет вероятностное пространство, соответствующее данному эксперименту.

Пример. Пусть симметричная монета бросается до тех пор, пока не появится герб. Найти вероятность того, что будет произведено не более трех бросаний.

Решение.

Пространство элементарных событий , означает, что герб не появится никогда. . Припишем ,

(условие неотрицательности выполнено). Тогда , т.е. условие нормировки выполнено. Герб может появиться либо при первом, либо при втором, либо при третьем бросании. Поэтому и .