Алгебра событий. Алгебра событий.
Пусть
-
конечное пространство элементарных
событий. Рассмотрим множество
,
состоящее из всех подмножеств множества
.
Оно содержит
элементов. Например, если
,
то
.
Пусть над элементами, входящими в
определены операции сложения, умножения
и вычитания. Тогда
обладает следующими свойствами:
1)
,
т.е. достоверное событие входит в
.
2)
замкнуто относительно операций сложения
и умножения, т.е.
.
3)
.
В этом случае система множеств образует алгебру. Следовательно, случайные события образуют алгебру, если число исходов стохастического эксперимента конечно.
Пусть
-–
бесконечное, но счетное пространство
элементарных событий. Рассмотрим
множество
,
состоящее из всех подмножеств множества
.
Пусть над элементами, входящими в
определены операции сложения, умножения
и вычитания. Тогда
обладает следующими свойствами:
1) , т.е. достоверное событие входит в .
2)
замкнуто относительно операций сложения
и умножения счетного множества событий,
т.е.
.
3) .
В этом случае система множеств образует алгебру. Следовательно, случайные события образуют алгебру, если число исходов стохастического эксперимента счетно.
Для несчетного событиями будем считать не все его подмножества, а только подмножества, которые образуют алгебру.
Для
любого пространства элементарных
событий
,
конечного, счетного или несчётного,
будем называть событиями
те и только те его подмножества, которые
образуют алгебру или
–
алгебру.
Лекция 2. Свойства событий.
1.(
(
))
(
)
2.
.
3.
.
4.
,
,
.
5.
,
.
6.
,
.
7.
8..
,
,
,
.
9
,
10.
,
.
11.
.
12.
.
Вероятностное пространство эксперимента с конечным числом исходов. Вероятность события.
Пусть
- пространство элементарных событий с
конечным числом исходов. Событием
является любое подмножество множества
.
Пусть
– соответствующая алгебра событий.
Основной числовой характеристикой
случайного события является его
вероятность. Вероятность
события
– количественная
мера объективной возможности наступления
события.
Вероятность является объективным
свойством , которое не зависит от того,
проводился опыт или нет. Например,
вероятность выпадения герба присуща
данной монете, как и ее масса, размер и
т.д. Если монета симметрична, то можно
предположить, что вероятность выпадения
герба равна 1/2, однако правильность
такого предположения проверяется в
результате большого числа опытов.
Каждому
элементарному событию
(исходу эксперимента) аксиоматически
приписывают число
,
называемое вероятностью этого исхода,
т.е. на
задается числовая функция
,
которая должна удовлетворять
условиям:
1.
для любого
– аксиома
неотрицательности;
2.
(или
,
где
– количество элементарных событий) –
аксиома
нормированности.
Вероятностью произвольного события называется сумма вероятностей исходов, входящих в .
.
Это равенство определяет вероятность как функцию, заданную на алгебре событий . Она обладает следующими свойствами
1)
.
Действительно,
,
так как
.
2)
,т.е.
вероятность достоверного события равна
1. Это следует из из условия нормированности
.
3)
Если
и
,
причем
,
(т.е. события несовместны),.то
– свойство аддитивности.
Действительно,
.
Следовательно, вероятность – неотрицательная, нормированная , аддитивная числовая функция, заданная на множестве .
Для эксперимента с конечным числом исходов вероятностная модель считается построенной, если
1) указано пространство элементарных событий, которое определяет алгебру ;
2) . Каждому элементарному событию (исходу эксперимента) приписана вероятность , удовлетворяющая двум аксиомам.
Тройка
называется вероятностным
пространством.
Алгебра
является областью определения вероятностей
событий
.
Вероятностное пространство эксперимента называют вероятностной моделью эксперимента.
Часто вероятностное пространство задают в виде таблицы.
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
Теория
вероятности не дает ответа на вопрос о
том, как правильно определить вероятности
элементарных событий. На этот вопрос
отвечает математическая статистика.
При определении этих вероятностей
принимается во внимание интуитивное
представление о
как о частоте элементарного события
в серии большого числа испытаний.