Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями из элементов по называется выборка предметов из неограниченного количества предметов различных сортов. Такие выборки должны отличаться хотя бы одним элементом, т.е. порядок элементов во внимание не принимается

Число вариантов выбора или количество таких сочетаний обычно обозначается и вычисляется по формуле

.

Каждое сочетание полностью определяется , если указать, сколько элементов каждого из типов в него входит. Назовем кратностью элемента число повторений данного элемента в сочетании с повторениями. Например, в сочетании элемент имеет кратность , элемент имеет кратность , элемент имеет кратность , элемент имеет кратность . Сумма всех кратностей равна порядку сочетания , т.е. . Поставим каждому сочетанию в соответствие последовательность из нулей и единиц, составленную по такому правилу: напишем подряд столько единиц, сколько элементов первого типа в него входит, затем нуль, затем напишем столько единиц, сколько элементов второго типа в него входит, затем нуль и т.д. Например, сочетанию с повторениями соответствует последовательность 11101101011. Если некоторый элемент не содержится в данном сочетании с повторениями, т.е. его кратность равна нулю, то тогда группа единиц не пишется и в последовательности появится 0 по меньшей мере два раза. В элементах последовательности из нулей и единиц, соответствующих сочетаниям с повторениями из элементов по цифра 1 встречается раз, а цифра 0 встречается раз. Для сочетания соответственно 8 и 3. Всевозможные сочетания с повторениями получатся, если подвергнуть перестановке нули и единицы в соответствующей последовательности.

Каждому сочетанию с повторениями из элементов по соответствует последовательность из единиц и нулей. Следовательно, число сочетаний с повторениями из элементов по равно числу последовательностей из единиц и нулей. Это число определяется числом перестановок с повторениями , т.е. .

Например, сочетания из 4-х элементов по 2 с повторениями будут . Им соответствуют следующие последовательности из нулей и единиц

Пример.

В магазине 12 сортов пирожных. Покупатель хочет купить шесть пирожных, не обязательно разных. Сколько вариантов выбора у него есть?

Здесь производится выбор шести предметов из неограниченного количества предметов 12-ти различных сортов.

,

то есть шесть пирожных, не обязательно разных, можно выбрать 12376 способами.

Случайные события и вероятностные пространства

Как в любом разделе математики, в теории вероятностей существуют неопределяемые понятия. Как известно, существует два типа определений: 1) логически строгое определение, которое устанавливает связь определяемого объекта с ранее введенными понятиями; 2) описательное определение с помощью слов разговорного языка. Понятия эксперимента и его исходов являются неопределяемыми в строгом смысле понятиями. Их можно описать лишь с помощью разговорного языка.

Эксперимент (опыт, испытание) – любое действие (реальное или мыслимое), которое удовлетворяет двум условиям: 1) эксперимент можно повторять неограниченное число раз; 2) повторение проводится в неизменных условиях.

Исходом эксперимента или элементарным событием называется его простейший результат, не разложимый на составные части.

Детерминированным называется эксперимент, имеющий только один исход. Например, снег, сброшенный с крыши, упадет на землю (по закону тяготения). Эксперимент является детерминированным.

Случайным или стохастическим называется эксперимент, множество исходов которого состоит более чем из одного элемента.

Множество всех исходов стохастического эксперимента образует

пространство элементарных событий, которое обозначается обычно .

Для теории вероятностей интерес представляют только случайные эксперименты.

Примеры

1. Эксперимент состоит в подбрасывании монеты один раз. Возможных исходов – два, "герб" или "решетка". Пространство элементарных событий .

2. Эксперимент состоит в подбрасывании монеты два раза. Возможных исходов – четыре: появление двух гербов; решетки и герба; герба и решетки; двух решеток. Пространство элементарных событий .

3. Подбрасывание монеты до тех пор, пока не выпадет герб. Исходов счетное множество (герб может вообще не появиться). Пространство элементарных событий .

4. Стрельба по кругу радиуса . Число исходов – несчетное множество.

Пространство элементарных событий .

Напомним, что счетным называется бесконечное множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел, т.е. все элементы множества можно занумеровать, причем различным элементам множества соответствуют различные номера. Несчетным называется бесконечное множество, которое не является счетным.

В зависимости от числа исходов эксперимента различают конечные, счетные и несчетные пространства элементарных событий.