Перестановки с повторениями из элементов

Перестановкой с повторениями из элементов, среди которых некоторые элементы одинаковы, называется расстановка этих элементов в определенном порядке, причем, если в такой расстановке поменять местами два одинаковых элемента, перестановка не меняется.

Пусть имеется элементов, среди которых – одинаковых предметов первого сорта; одинаковых предметов второго сорта;…, одинаковых предметов k-го сорта; и .

Число перестановок с повторениями из такого набора обычно обозначается .

Число элементов в каждой перестановке равно . Если бы все элементы были различны, то число перестановок было бы равно . Так как некоторые элементы совпадают, то получится меньшее число перестановок. Возьмем, например, перестановку , в которой вначале выписаны все элементы первого типа, потом все элементы второго типа,… и все элементы типа. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом способами, элементы второго типа можно переставлять друг с другом способами, элементы го типа можно переставлять друг с другом способами. Такие перестановки ничего не изменят, так как переставляются одинаковые элементы. В соответствии с правилом произведения элементы перестановки можно переставлять друг с другом способами так, что она при этом останется неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех перестановок распадается на части, состоящие из одинаковых перестановок каждая, т.е.

Поэтому число различных перестановок с повторениями из элементов равно

Пример1.

Каким количеством способов можно расположить в ряд три белых шарика, два красных и четыре черных?

Решение

1) находим число шариков: .

2) искомое количество способов:

.

Пример 2.

Сколько перестановок можно сделать из букв слова Миссисипи?

.

Пример 3

Сколькими способами можно расселить 8 студентов по 3 комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной?

Сочетания

Сочетанием из различных элементов по называются неупорядоченные подмножества элементов из заданных элементов. Сочетания считаются разными, если они отличаются хотя бы одним элементом.

Количество различных сочетаний обозначается . Рассмотрим одно такое сочетание из различных элементов по . Переставим входящие в это сочетание элементы всеми возможными способами. В результате получим размещений. Такую же процедуру проделаем со всеми остальными сочетаниями из различных элементов по . В результате получим размещений. Следовательно, Отсюда =:

или .

Свойства сочетаний.

1)

2)

3)

Пример 1.

Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат, если на заставе 20 солдат.

Пример 2.

В полуфинале первенства страны по шахматам участвуют 20 чел. В финал выходят трое. Найти число различных исходов полуфинала шахматного первенства.

Здесь нас не интересует порядок, в котором располагается первая тройка. Поэтому число исходов

Пример 3.

В турнире участвуют 8 игроков. Из трех человек, занявших первые места, формируется команда для поездки на соревнование. Каким количеством способов может быть сформирована команда?

Вопрос сводится к следующему: каким количеством способов можно выбрать трех человек из восьми? (порядок выбора роли не играет) По определению – это число сочетаний из восьми по три:

.

Пример 4

В магазине 12 сортов пирожных. Покупатель хочет купить шесть разных пирожных. Сколько вариантов выбора у него есть?

Решение

Количество способов выбора здесь

.

В последнем примере было поставлено ограничение – разные пирожные. Если же ограничение снять, то количество вариантов выбора возрастет. Для того чтобы подсчитать количество способов выбора шести любых пирожных из 12 сортов (количество пирожных каждого сорта полагается неограниченным), нужно ввести еще одно определение – сочетание с повторениями.

Рассмотрим неограниченное количество предметов различных сортов. Пусть предметы одного сорта не различаются.