Размещения

Пусть задано множество В, состоящее из элементов.

Размещениями из элементов по называются упорядоченные подмножества элементов из , которые отличаются друг от друга либо хотя бы одним элементом либо порядком расположения элементов.

Число размещений обозначается и вычисляется по формуле:

.

Формула эта выводится по правилу произведения. Составим всевозможные размещения из элементов по , т.е. подмножества множества В, содержащие элементов. На первом шаге можно выбрать любой из имеющихся элементов, т.е. существует выборов из имеющихся элементов. Второй элемент в размещении можно выбрать из оставшихся элементов. Поэтому пару элементов можно выбрать способами, так как к каждому из первых элементов можно присоединить второй элемент способами. Третий элемент в размещении можно выбрать из оставшихся элементов. Поэтому тройку элементов можно выбрать способами. Продолжая этот процесс, получим, что число размещений из элементов по равно

.

Заметим, что в формуле ровно сомножителей, первый сомножитель равен , каждый следующий на единицу меньше.

Пример 1

В группе 25 студентов. Нужно выбрать старосту, профорга и физорга. Каким числом способов это можно сделать, если каждый студент может иметь только одну общественную нагрузку?

Решение.

В данном случае размещения (с-Петров, п-Соколов, ф-Иванов) и (п-Петров, с-Соколов, ф-Иванов) различны.

Пример 2.

В турнире участвуют 8 игроков. Каким количеством способов могут распределяться три первых места? (Сколько вариантов "тройки призеров" существует в данном случае?)

Решение.

Тройка призеров – это три имени из восьми, расположенные в определенном порядке.

.

Можно также рассматривать размещения элементов из неограниченного количества предметов, относящихся к различным сортам (предметы одного сорта не различаются).

Размещения с повторениями из элементов по

Пусть имеется бесконечное множество элементов, относящихся к различным видам (предметы одного сорта не различаются).

Размещением с повторениями из элементов по называется выборка расположенных в определенном порядке элементов из неограниченного количества элементов различных сортов. Такие выборки называются расстановками. Две расстановки считаются различными, если они отличаются либо элементами, либо порядком их следования.

Количество таких размещений обозначается и вычисляется по формуле:

.

Докажем справедливость этой формулы методом математической индукции.

Пусть . Каждое размещение состоит из одного элемента. Различные размещения получатся, если брать элементы разных сортов, число которых равно . Следовательно, .

Предположим, что . Рассмотрим фиксированное размещение и припишем к нему элемент одного из видов. В результате из одного фиксированного размещения, состоящего из элементов получим размещений, содержащих элементов. Учитывая, что число таких фиксированных размещений из элементов равно , получим, что число размещений из элементов по с повторениями равно .

В этой формуле, также как в формуле для , ровно сомножителей, но все они равны , так как количество способов выбора элемента на второе, третье и т.д. место остается равным , а не убывает, как в предыдущем случае.

Пример 3.

Для запирания сейфа используется замок, который откроется только при наборе на пяти дисках определенных букв. На каждом диске 12 букв. Сколько неудачных попыток открыть сейф может быть сделано человеком, не знающим кода?

Решение.

Число возможных комбинаций кода в данном случае равно : мы выбираем 5 букв из 12 различных.

.

Значит, неудачных попыток может быть 248831, на одну меньше

Перестановки

Перестановкой из различных элементов называется всякое упорядоченное множество из различных элементов.. Если в перестановке поменять местами хотя бы два элемента, мы получим уже новую перестановку, не совпадающую с данной.

Количество таких перестановок обозначается . Очевидно, и, следовательно, число перестановок находится по формуле

.

– произведение целых чисел от единицы до .

По определению .

Пример 1

Каким количеством способов можно расположить на полке пять разных книг?

Решение

Каждая расстановка на полке является перестановкой из пяти элементов, общее количество способов

.

Пример 2

Лингвисту нужно разгадать текст, написанный с помощью 26 незнакомых знаков.. Эти знаки являются буквами, изображающими каждый один из 26 звуков. Сколькими способами можно сопоставить звуки знакам письма?

Из 26 звуков можно составить перестановок