Формулы Бейеса (апостериорная вероятность гипотез).
Пусть
событие
может происходить в различных условиях,
о характере которых можно сделать
гипотез
,
которые образуют полную группу событий.
Пусть известны вероятности этих гипотез,
т.е. априорные вероятности
.
Предположим, что известны также условные
вероятности события
:
.
Пусть
произведен опыт, в результате которого
наступило событие
.
Это должно вызвать переоценку вероятностей
гипотез
.
Формулы Бейеса дают возможность
вычислить условные вероятности гипотез
при условии, что событие
произошло, т.е. апостериорные вероятности:
,
(12)
где
.
Доказательство.
В соответствии с определением условной вероятности события
(13)
Используя теорему умножения вероятностей для числителя в (13) и формулу полной вероятности (8) для знаменателя в (13), получим
(14)
Пример 1.
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить норму для лыжников 0.9, для велосипедистов 0.8, для бегуна 0.75.
1) Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму.
2) Наудачу вызванный спортсмен выполнил норму. Найти вероятность того, что этот спортсмен велосипедист.
Решение.
Гипотезы:
– спортсмен является лыжником,
–
спортсмен является велосипедистом,
– спортсмен является бегуном.
,
,
.
1) По формуле полной вероятности
.
2) По формуле Бейеса апостериорная вероятность второй гипотезы
.
Пример 2.
Заводы
производят
лампочек, поставляемых в Максидом. Брак
в их продукции составляет
соответственно.
1) Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие дефектно?
2) Случайно выбранная лампочка оказалась дефектной. Найти вероятность того, что она была произведена заводами соответственно.
Решение.
1)
,
,
.
,
,
.
Следовательно, по формуле полной вероятности
.
2)
,
,
.