Свойства условных вероятностей
1.
.
Доказательство.
,
.
2.
Доказательство.
3.
Если
,
т.е. события
и
несовместны, то
.
Доказательство.
Здесь
учтено, что
и
.
Если
(
),
при
,
то
.
4.
Если события
и
совместны, т.е.
,
то
.
Доказательство.
.
5.
6.
.
.
Доказательство.
7.
Доказательство.
.
8.
,
.
Пример 1.
Студент из 20 билетов выучил 10 билетов: 4 четных (2,4, 6, 8) и 6 нечетных (1,3,5,7,9,11). 1) Найти вероятность того, что он получил выученный билет, если он заходит первым в аудиторию. 2) Найти вероятность того, что он получил выученный билет, если к моменту прихода студента осталось 10 билетов и все они нечетные.
Решение.
1)
2)
Пример 2 .
В семье с двумя детьми один ребенок – мальчик. Найти вероятность того, что в семье оба ребенка мальчики.
Решение
Пространство
элементарных событий
.
Все
4 исхода равновероятны, поэтому
Пусть
– в семье два мальчика.
-
в семье хотя бы один мальчик.
,
,
,
.
Следовательно, если в семье есть один мальчик, то вероятность того, что в семье оба ребенка мальчики равна 1/3.
Пример 3.
Три
стрелка независимо друг от друга стреляют
по мишени. Вероятность попадания для
первого стрелка
,
для второго
,
для третьего
.
Найти вероятности событий
– все трое попали в цель,
– хотя бы один из стрелков промахнулся,
– попали два стрелка, один допустил промах,
– хотя бы один стрелок попал в цель.
Решение .
Введём обозначения:
–
-ый
стрелок попал в цель,
;
–
-ый
стрелок не попал в цель,
.
можно
представить в виде
и по теореме о произведении вероятностей
.
и
по теореме о вероятности противоположного
события
.
,
т.е. является суммой несовместных
слагаемых, и по теоремам о вероятностях
суммы и произведения
Вероятность события найдём двумя способами.
1).
и
.
2).
и
.
Ответ
или
.
Попарная независимость нескольких событий ещё не означает их независимость в совокупности.
Формула полной вероятности
Пространство элементарных событий всегда можно разбить на некоторое число непересекающихся (несовместных) событий.
События
,
,
…,
,…
образуют полную
группу,
если
1)
при
,
т.е. они
несовместны;
2)
,
, т.е. их сумма есть достоверное событие.
События, образующие полную группу, называются гипотезами.
Теорема.
Если
образуют полную группу событий,
–
соответствующая алгебра событий, то
для любого
.
(8)
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Доказательство.
Событие можно представить в виде
(9)
Учитывая,
что события
и
несовместны,
так как
,
по
теореме сложения вероятностей для
несовместных событий получим из (9)
(10).
Используя теорему умножения вероятностей для зависимых событий, получим из (10).
(11)
Отсюда следует, что безусловная вероятность события равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.