2.2. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Галеркина

Для решения краевой задачи (2.1) здесь применяется проекционный метод Галеркина (см. подробнее [1], п. 2.3.)

Построим множество дважды непрерывно дифференцируемых в функций , равных нулю на границе , и введем в скалярное произведение по формуле (2.2). Будем называть функции ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Заменим краевую задачу (2.1) эквивалентным уравнением (2.3). Выберем в какую-либо координатную систему (2.6) и будем искать приближенное решение задачи в виде линейной комбинации первых координатных функций

. (2.14)

Рассмотрим невязку уравнения (2.3) относительно приближенного решения (2.14)

.

Будем искать, в соответствии с рекомендацией метода Галеркина, коэффициенты из условий ортогональности

(2.15)

Условия (2.15) означают, что проекция невязки на плоскость, натянутую на координатные векторы , равна нулю.

Из определения ортогональности и свойств скалярного произведения легко получить, что условия (2.15) эквивалентны системе уравнений (2.8) с коэффициентами и правыми частями , вычисляемыми по формулам (2.9) и (2.10).Система (2.8), полученная из условий (2.15), называется галеркинским приближением краевой задачи (2.1). Решая эту систему и подставляя результат вычислений в (2.14), получим приближенное решение краевой задачи.

Пример 8. Пусть в (2.1) область ограничена эллипсом и осями координат (рис. 7), .

Рис. 7

(2.16)

Решение. В качестве координатной системы возьмем последовательность функций , где

.

Заметим, что удовлетворяет условиям 1) – 3) пункта 2 предыдущего параграфа.

В выражении (2.14) ограничимся тремя членами; обозначая

, , ,

будем иметь .

Составим невязку

;

наложим на нее требование ортогональности

, , ;

вычислим коэффициенты и правые части полученной из этих условий системы по формулам (2.9) и (2.10). Например,

Аналогично можно получить

; ; ; ; ;

Построим систему уравнений для , т.е. галеркинское приближение краевой задачи (2.16),

,

решая которую, получим

, , ,

поэтому искомая функция

.

Типовой расчет

Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Метод решения задачи указывается преподавателем.

1. ; : треугольник со сторонами , , ; .

2. ; : треугольник со сторонами , , ; .

3. ; : прямоугольник , ;

.

4. ; : прямоугольник , ;

.

5. ; : прямоугольник , ;

.

6. ; : прямоугольник , ;

.

7. ; : квадрат , ;

.

8. ; : область, ограниченная параболой и осью ; .

9. ; : область, ограниченная параболой и осями координат ; .

10. ; : внутренность эллипса ;

.

11. ; : область, ограниченная эллипсом и осью ; .

12. ; : круг ;

.

13. ; : полукруг , ;

.