Задачи для самостоятельного решения
При оформлении на работу в фирму работники проходят тестирование.
Вероятность успешного прохождения тестирования любым из поступающих на работу равна 0,3.
Найти вероятность того, что из пяти поступающих на работу успешно пройдут тестирование:
а) ровно три работника,
б) ни одного работника.
2. Вероятность того, что продаваемый фирмой автомобиль потребует предпродажного обслуживания, составляет 0,2.
Найти вероятность того, что из четырех продаваемых фирмой автомобилей потребуют предпродажного обслуживания:
а) ровно три автомобиля;
б) ни одного автомобиля;
в) все четыре автомобиля.
3. Вероятность дорожно-транспортного происшествия на перекрестке в течение любых суток месяца составляет 0,15. Число дорожно-транспортных происшествий на перекрестке за одни сутки не превышает одного.
Найти вероятность того, что в течение 7 суток произойдет:
а) ни одного дорожно-транспортного происшествия;
б) не более двух дорожно-транспортных происшествий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа дорожно-транспортных происшествий за 7 суток.
Закон распределения Пуассона
Ему подчиняются дискретные случайные
величины, имеющие место в независимых
испытаниях Бернулли , когда число
испытаний достаточно велико, а вероятность
появления интересующего нас события в
каждом испытании постоянна и мала
Это закон распределения редких случайных событий при большом числе испытаний. Задаётся он формулой Пуассона:
(1.5.5)
где
-
вероятность появления интересующего
нас события среди
повторяющихся,
независимых испытаний ровно
раз;
– число повторяющихся независимых испытаний ;
– число испытаний, в которых имело место интересующее нас событие;
– математическое ожидание числа
появлений интересующего нас события
среди
независимых испытаний (параметр
распределения);
– основание натурального логарифма
(
)
.
Формула Пуассона получается из формулы
Бернулли с помощью предельного перехода
при
(const):
(1.5.6)
Ряд распределения дискретной случайной величины X = m, подчинённой закону распределения Пуассона, построенный с помощью формулы Пуассона, имеет вид:
. (1.5.7)
В случае закона распределения Пуассона математическое ожидание и дисперсия случайной величины будут:
(1.5.8)
Откуда следует, что математическое ожидание и дисперсия в случае пуассоновского закона распределения равны между собой, т. е.
,
(1.5.9)
и это является особенностью данного распределения.
Пример. Вероятность того, что любому
из 300 жителей микрорайона города в
течение времени
потребуется санаторное лечение,
составляет 0,02.
Найти вероятность того, что в течение времени санаторное лечение потребуется: а) для четырех человек; б) менее четырех; в) более четырех человек; г) хотя бы одному человеку.
Решение. Математическое ожидание числа жителей микрорайона, которым потребуется санаторное лечение за время , равно:
.
По формуле Пуассона будем иметь:
P
0,00258,
.
P
.
P
(3)
=
0,0929,
P
0,139.
Откуда,
.
P(A)
=P
0,1574,
где A – случайное событие,
состоящее в том, что санаторное лечение
потребуется менее четырем жителям.
P(B)
= 1- [P(A)
+ P
(4)]
= 0,70358, где B –
случайное событие, состоящее в том, что
санаторное лечение потребуется более
четырем жителям микрорайона города.
P(C)
= 1-
P
(0)
= 0,997,
где C – случайное событие, состоящее в том, что санаторное лечение потребуется хотя бы одному жителю микрорайона города.