1.5. Основные законы распределения случайных величин
Наиболее часто в практических приложениях встречаются следующие законы распределения случайных величин.
Биномиальный закон распределения
Это закон распределения биномиальной
случайной величины
,
представляющей собой число успехов в
сериях из
повторяющихся
испытаний Бернулли. Под серией испытаний
Бернулли понимается последовательность
независимых
испытаний, когда результатом каждого
из них является альтернативная случайная
величина
,
способная принимать только одно из двух
противоположных значений: успех (1) или
неуспех (0) с вероятностями
и
соответственно. Причём вероятность
появления
события в каждом испытании постоянна,
что соответствует одинаковым условиям,
в которых проводятся испытания.
Биномиальный закон распределения случайной величины X = m задаётся формулой Бернулли:
P
,
(1.5.1)
где P
–
вероятность появления интересующего
нас события среди
повторяющихся испытаний ровно
раз;
– вероятность появления интересующего нас события в любом из независимых испытаний;
q – вероятность непоявления интересующего нас события в одном испытании;
n – общее число повторяющихся независимых испытаний;
m – число испытаний, в которых имело место интересующее нас событие (биномиальная случайная величина) ;
– число последовательностей исходов
в
независимых
испытаниях, в каждой из которых событие
появляется
раз, а событие
раз.
(1.5.2)
Ряд распределения случайной величины X = m с биномиальным законом распределения, построенный с помощью формулы Бернулли, имеет вид:
X
=
,
(1.5.3)
причём, m
= 0,1,2,…,n,
p
+ q
= 1,
.
Биномиальная случайная величина X
= m
представляет собой сумму альтернативных
случайных величин
( i
=1,2,…,n),
т.е.
.
Ряд распределения вероятностей для альтернативной случайной величины представляется как:
,
где
– число появлений интересующего нас
события в одном испытании.
Отсюда математическое ожидание и дисперсия для альтернативной слу-
чайной величины соответственно будут
равны:
,
a математическое ожидание
и дисперсия для биномиальной случайной
величины Х:
(1.5.4)
Пример. В городе 4 района. Вероятность того, что число безработных окажется в течение года выше критического значения, для каждого района города одинакова и равна 0.1. Найти вероятность того, что в течение года число безработных окажется выше критического значения не более чем в двух районах города, математическое ожидание и дисперсию числа районов города, в которых количество безработных превысило критическое значение.
Решение. По формуле Бернулли имеем:
P
;
=
C
;
P
;
P(A)
=P
,
где A
– случайное событие, состоящее в
том, что в течение года число безработных
окажется выше критического значения
не более чем в двух районах города.
