Начальные и центральные теоретические моменты
На практике, кроме математического
ожидания, используется также математическое
ожидание целой положительной степени
случайной величины Х
или её отклонения от математического
ожидания, т.е.
,
которые являются соответственно
начальным и центральным моментами
порядка
.
Начальные и центральные моменты позволяют более полно описывать особенности законов распределения случайных величин.
Начальным моментом порядка
случайной величины Х
называется величина
MX
,
k
= 0, 1, 2,…,
вычисляемая по формулам:
– для дискретных случайных величин;
(1.4.7)
– для непрерывных случайных величин.
(1.4.8)
Центральным моментом порядка случайной величины Х называется математическое ожидание степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:
,
вычисляемое по формулам:
– для дискретных случайных величин;
(1.4.9)
– для непрерывных случайных величин.
(1.4.10)
Из формул (1.4.1 – 1.4.10) следует, что математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка, а дисперсия - центральным моментом второго порядка.
Коэффициент асимметрии и эксцесс
Коэффициент асимметрии и эксцесс являются характеристиками, позволяющими с помощью моментов высших порядков оценить характер распределения, степень его отличия от нормального распределения.
Так, например, центральный момент третьего порядка используется для оценки асимметрии (скошенности) кривой распределения относительно математического ожидания
А
,
(1.4.11)
где A – коэффициент асимметрии кривой распределения;
–
центральный момент третьего порядка;
–
среднее квадратическое отклонение (для
получения безразмерной характеристики).
Если A > 0, то асимметрия положительная (правая часть кривой распределения длиннее левой);
Если A < 0, то асимметрия отрицательная (левая часть кривой распределения длиннее правой (рис. 1.4.1; 1.4.2)).
f(x)
f(x)
A > 0
A < 0
0
0
Рис.1.4.1.
Рис.1.4.2.
Центральный момент четвертого порядка используется для оценки степени “крутости”, островершинности распределения по отношению к нормальному:
E
, (1.4.12)
где E - эксцесс (характеристика “крутости”, островершинности кривой распределения;
-
центральный момент четвёртого порядка;
- среднее квадратическое отклонение.
Так как для нормального
распределения
,
то для более
“крутых”распределений E >0, для менее “крутых” распределений E< 0, а для нормального распределения E = 0 (рис. 1.4.3).
Рис. 1.4.3.