Задачи для самостоятельного решения

1. В фирме работают 7 рабочих и 3 техника. Для выполнения работы из картотеки случайным образом взяты 2 карточки. Найти вероятность того, что взятые карточки принадлежат рабочим.

2. В денежной лотерее содержится 1000 билетов; из них на один билет приходится выигрыш в 300 руб., на 10 билетов – выигрыш по150 руб., на 50 билетов – выигрыш по 15 руб., на 100 билетов – выигрыш по 3 руб., остальные билеты невыигрышные. Участвующий в лотерее покупает один билет. Найти вероятность выигрыша не менее 15 руб.[3].

3. Коммерческим банком выделен кредит, предназначенный для одного из начинающих предпринимателей. На получение кредита претендуют 6 предпринимателей, занимающихся производством одежды, и 4 предпринимателя, занимающиеся производством продуктов питания. Вероятность эффективного использования кредита первым предпринимателем 0,95, а вторым 0,8. Какова вероятность эффективного использования кредита, если его выделение будет осуществляться случайным образом ?

4. Магазин получает 40% товара с первого, 35% со второго и 25% с третьего складов. Известно, что 2% товара, поступающего с первого, 8% со второго и 6% с третьего складов, плохого качества. Определить вероятность того, что партия товара, оказавшегося плохого качества, поступила с третьего склада [3].

1.3. Случайная величина и её закон распределения

В практических приложениях теории вероятностей часто приходится сталкиваться с понятием случайной величины, позволяющей выразить случайный результат опыта в количественном виде, т.е. в виде числа.

Пример 1. При обследовании населения города по проблемам занятости исследователя будет интересовать не только факт наличия безработных, но и конкретное их количество, которое может быть различным.

Случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, заранее не известное, зависящее от случая.

Каждой случайной величине соответствует множество чисел, являющихся множеством её значений, которые она может принимать в результате опытов.

Если при некотором испытании множество возможных значений, принимаемых случайной величиной, конечно и счетно, то такая случайная величина называется дискретной.

Например, количество единиц товара, проданного предпринимателем в единицу времени, есть дискретная случайная величина, которая может принимать случайным образом любые дискретные значения от 0 до n.

К другому важному классу случайных величин относятся такие случайные величины, которые при проведении опытов могут принимать любые значения из некоторого интервала. Такие случайные величины называются непрерывными. Например, время ожидания обработки поступившей в вычислительный центр информации.

Законом распределения вероятностей случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения случайной величины задаётся:

1. В виде ряда распределения для дискретных случайных величин (табл. 1.3.1):

Таблица 1.3.1

X	x , x ,…, x
P	p , p ,…, p

где x , x ,…, x - все возможные значения случайной величины X, образующие полную группу;

– вероятности, с которыми могут появляться значения случайной величины X, причём

= 1. ( 1.3.1)

Графическим изображением ряда распределения, позволяющим представить закон распределения в более наглядной форме, является многоугольник распределения (рис. 1.3.1).

0 …

Рис. 1.3.1. Многоугольник распределения

2. В виде функции распределения

Функцией распределения вероятностей случайной величины X называется функция , представляющая вероятность того, что в результате проведения опыта X примет значение, меньшее, чем заданное значение , т. е.

. (1.3.2)

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Функция распределения является неубывающей функцией, принимающей значения на отрезке при изменении от до , причем,

Приращение функции распределения на участке равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее этому участку: . (1.3.3)

Для дискретных случайных величин функция является разрывной, ступенчатой (рис. 1.3.2)

1

0

Рис. 1.3.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Для непрерывных случайных величин функция распределения, как правило, непрерывна.

В общем случае графиком функции распределения является график неубывающей функции на отрезке , в отдельных точках которой могут иметь место разрывы . Функция распределения является универсальной формой задания закона распределения, используемой как для дискретных, так и непрерывных случайных величин.

3. В виде функции плотности для задания закона распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Функцией плотности распределения вероятностей случайной величины X называется производная первого порядка от функции распределения, т.е.

. (1.3.4)

Функция плотности имеет следующие свойства:

1. Функция плотности есть неотрицательная функция, т.к. она является производной от неубывающей функции, т.е. . (1.3.5)

2. Несобственный интеграл от функции плотности, взятый в преде-

лах от  до , равен 1, т.е.: (1.3.6)

3. Функция распределения выражается через функцию плотности

формулой: (1.3.7)

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (а, b) выражается через функцию плотности формулой:

(1.3.8)